三角関数の不等式の問題です。 90°<θ<180°のとき、2cosθ≧3tanθを満たすθの範囲を求

三角関数の不等式の問題です。
90°<θ<180°のとき、2cosθ≧3tanθを満たすθの範囲を求めよ。

これを解いたら範囲が
(cosθ)^2≦-3と3/4≦(cosθ)^2になり、
(cosθ)^2≦-3の方は2乗を外すと虚数なので不敵なので、3/4≦(cosθ)^2を採用するとθはθ≧150°になります。
条件の90°<θ<180°と合わせると、答えは150°≦θ<180°になると思うのですが、解答は90°<θ≦150°でした。

解き方、理由を教えてほしいです。

No.5 ベストアンサー 回答者： MayTyu 回答日時： 2021/03/02 01:46

90°<θ<180°のとき、-1<cosθ<0、0<sinθ<1

2cosθ≧3tanθ
2cosθ≧3(sinθ/cosθ)
2cos²θ≦3sinθ
2(1-sin²θ)≦3sinθ
2sin²θ+3sinθ-2≧0　　　
(2sinθ-1)(sinθ+2)≧0
sinθ≦-2,1/2≦sinθ　　これと0<sinθ<1から、-2は不適
1/2≦sinθ≦1
ここで解答が30°≦θ≦90°,90°≦θ≦150°と出るが、前提条件として90°<θ<180°となるので

90°<θ≦150°
これは-1<cosθ<0も満たす。　終

No.4 回答者： masterkoto 回答日時： 2021/03/01 15:29

どこをどうやったら

(cosθ)^2≦-3と3/4≦(cosθ)^2
になるのか教えてほしい・・・謎

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2021/03/01 14:39

90°<θ<180°のときは 第2象限です。

(3/4)≦cos²θ → -√3/2≧cosθ , cosθ≦√3/2 で、
cosθ<0 ですから θ≦150° となりますね。
で、90°<θ<180° と合わせて 90°<θ≦150° 。

θ が180°に 近づくと 2cosθ≧3tanθ は
全く成り立たないことが 直ぐに分かるでしょ。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2021/03/01 14:21

どうやって解いたのか分かりませんが、ふつうにやれば

90°<θ<180°のとき、
　sinθ > 0
　cosθ < 0

この上で
　2cosθ ≧ 3tanθ　　　　　①
の両辺に「cosθ < 0」をかければ、不等号の向きが変わって
　2cos^2(θ) ≦ 3sin(θ)　　　②

cos^2(θ) = 1 - sin^2(θ)
なので、②は
　2[1 - sin^2(θ)] ≦ 3sin(θ)
→　2sin^2(θ) + 3sin(θ) - 2 ≧ 0

x = sin(θ) とおけば、90°<θ<180°なので 0<x<1 であり
　2x^2 + 3x - 2 ≧ 0
→　(2x - 1)(x + 2) ≧ 0
0<x<1 という条件なので
　1/2 ≦ x < 1

よって、90°<θ<180 で
　1/2 ≦ sin(θ) < 1
という条件から、
　90° < θ ≦ 150°


あなたがどうやって解いたのか分からないけど
　3/4≦(cosθ)^2
なら、cosθ < 0 なので
　cosθ ≦ -(√3)/2
より
　150° ≦ θ < 180°
にはなるけど、おそらくその前の段階で間違えている。

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2021/03/01 11:44

単位円を書けば解る。

θ≧150°じゃ無くて、150°≧θだよ。