No.1
- 回答日時:
>いかなる3桁の数も、各位の数字を大きい方から順にならべた数と、小さい順に並べた数との差をつくり、得られた数について、さらにこの操作を繰り返すと、いつかは必ず495になる。
これですが成り立たない3桁の数が存在しますので偽です。3桁がすべて同じ数字だと成り立ちません。
No.3
- 回答日時:
これって99の倍数のどれかになるって話ではないですか?
x>y>zと仮定すると
大きい順に並べた三桁の数は 100x+10y+z
小さい順に並べた三桁の数は 100z+10y+x
この二つの差は 99(x-z)
となるのでx-zが5の場合は、495になると思いますし、x-zが4の場合は、396になると思います。
ですから、これを繰り返せばいつかは495になると思いますよ。
この問題のポイントは、10の位の数が変わらないから、必ず99が現れることじゃないかと思います。
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
とりあえず、「いかなる3桁の数も」というのはちょっと違いますね。
3桁とも同じ数字の場合は0になってしまうのでダメです。
それと、2つの同じ数字とそれよりも1小さい数字の組み合わせの場合は差が99になってしまいます。
(これは99=099として無理やり3桁に置き換えてしまえば良いですが…)
さて、それでは「3つの数字の内、少なくとも一つは異なる数字である」という条件をつけましょう。
大きい順に3つの1桁の数字をそれぞれp,q,rとします。
条件「3つの数字の内、少なくとも一つは異なる数字である」より、p>r
大きい順に並べた3桁の数字は、100p+10q+r です。
小さい順に並べた3桁の数字は、100r+10q+p です。
2つの差は、99p-99r
すなわち、99(p-r)であり、必ず99の倍数になります。
p>rなので、p-rの取り得る値は1~9のいずれかの整数です。
ここで、p-rをnと置き換えます。
99(p-n)=99n
=100n-n
=100(n-1)+100-n
nは1~9のいずれかの整数なので、100-nは91~99のいずれか。
そこに100の倍数を加算するので、
大きい方から順にならべた数と、小さい順に並べた数との差(=99(p-r))の10の位は必ず9です。
9の倍数の全ての桁を足し合わせた数は、必ず9の倍数になるという性質を利用すると、
100の桁と1の桁の組み合わせは以下の4通りしかありません。
1と8、2と7、3と6、4と5
ここでちょっとp-rについて考えてみましょう。
最初に、pは3つの中でいちばん大きな数、rはいちばん小さな数として定義しましたよね。
99(p-r)の10の位は必ず9ということが既に判明してますから、p=9
rは先ほどの4通りの組み合わせから、1~4のいずれかです。
ということは、p-rは5~8のどれかになります。
つまり、99(p-r)は、
p-r=5のとき495(一番小さな数は 4)→9-4=5
p-r=6のとき594(一番小さな数は 4)→9-4=5
p-r=7のとき693(一番小さな数は 3)→9-3=6
p-r=8のとき792(一番小さな数は 2)→9-2=7
p-rが5以外のときは、次に出来るp-rはその前に出来たp-rと異なります。
p-r=5の時のみ出来る数字は変わらず、最終的には(ゾロ目以外の)全ての3桁の数字が 495になります。
う~ん、長すぎて訳わかんなくなっちゃったかも…。
No.5
- 回答日時:
はじめの三桁の数字をとひっくり返した数字をabc,cbaとします。
(a,b,cにはそれぞれ0~9までの数字が入ります)どっちでもいいのですが、数字が大きい方をaとしましょう。引き算を計算すると、1桁目と2桁目は1bc-ba=9(1c-a)となり、3桁目は1くり下がりがあったので(a-c-1)になります。つまりその数字は、3桁目が
(a-c-1)、2桁目が9、3桁目が(1c-a)という数字です。
その数字と3桁目と1桁目を足すとa-c-1+10+c-aで9になりますね。
よってその出てくる数字は099,198,297,396,495,594,693,792,891,990のうちのどれかという事です。
これをひっくり返したものとペアを組み、片っ端から計算していくと
(099,990)→(891,198)→(693,396)→(297,792)→(495,594)→099にもどる
という輪ができます。この図の意味は、例えば1回目で出てきた数が891か198だったら次の数は693、その次は297、その次は495とか1回目で出てきた数が99か990だったら次の数は891とかそういうことです。これらは完全に輪になっており、どんどん計算していけば必ず495にぶち当たります。1回目の計算で出てくる数は全て上の図の中の数字のどれかなので、これで495が必ず出てくることが証明されました。
No.6
- 回答日時:
0<=a<=9,
0<=b<=9,
0<=c<=9
a,b,cの最大値をa、最小値をc、
Q=(100a+10b+c)-(100c+10b+a)
とおく。
[1]a>cのとき、
Q
=(100a+10b+c)-(100c+10b+a)
=100(a-c)+10(b-b)+(c-a)
=100(a-c)+(c-a)
=100(a-c)-(a-c)
=99(a-c)
ここで、
a=9かつc=0のとき、a-cの値が最大となり、その値は9
a=1かつc=0のとき、a-cの値が最小となり、その値は1
になる。
よって、
(1)a-c=1のとき、Q=99×1=099⇔最大値9、最小値0、差分9⇒(9)に移行
(2)a-c=2のとき、Q=99×2=198⇔最大値9、最小値1、差分8⇒(8)に移行
(3)a-c=3のとき、Q=99×3=297⇔最大値9、最小値2、差分7⇒(7)に移行
(4)a-c=4のとき、Q=99×4=396⇔最大値9、最小値3、差分6⇒(6)に移行
(5)a-c=5のとき、Q=99×5=495⇔最大値9、最小値4、差分5⇒(5)に移行
(6)a-c=6のとき、Q=99×6=594⇔最大値9、最小値4、差分5⇒(5)に移行
(7)a-c=7のとき、Q=99×7=693⇔最大値9、最小値3、差分6⇒(6)に移行
(8)a-c=8のとき、Q=99×8=792⇔最大値9、最小値2、差分7⇒(7)に移行
(9)a-c=9のとき、Q=99×9=891⇔最大値9、最小値1、差分8⇒(8)に移行
となり、(5)に帰着する。
即ち、a>cのとき任意の3桁の数は、495に帰着する。
[1]a=c (即ち、a=b=c)のとき、
Q
=(100a+10b+c)-(100c+10b+a)
=(100a+10a+a)-(100a+10a+a)
=0
即ち、a=cのとき任意の3桁の数は、0に帰着する。
No.7
- 回答日時:
0<=a<=9,
0<=b<=9,
0<=c<=9
a,b,cの最大値をa、最小値をc、
Q=(100a+10b+c)-(100c+10b+a)
とおく。
[1]a>cのとき、
Q
=(100a+10b+c)-(100c+10b+a)
=100(a-c)+10(b-b)+(c-a)
=100(a-c)+(c-a)
=100(a-c)-(a-c)
=99(a-c)
ここで、
a=9かつc=0のとき、a-cの値が最大となり、その値は9
a=1かつc=0のとき、a-cの値が最小となり、その値は1
になる。
よって、
(1)a-c=1のとき、Q=99×1=099⇔最大値9、最小値0、差分9⇒(9)に移行
(2)a-c=2のとき、Q=99×2=198⇔最大値9、最小値1、差分8⇒(8)に移行
(3)a-c=3のとき、Q=99×3=297⇔最大値9、最小値2、差分7⇒(7)に移行
(4)a-c=4のとき、Q=99×4=396⇔最大値9、最小値3、差分6⇒(6)に移行
(5)a-c=5のとき、Q=99×5=495⇔最大値9、最小値4、差分5⇒(5)に移行
(6)a-c=6のとき、Q=99×6=594⇔最大値9、最小値4、差分5⇒(5)に移行
(7)a-c=7のとき、Q=99×7=693⇔最大値9、最小値3、差分6⇒(6)に移行
(8)a-c=8のとき、Q=99×8=792⇔最大値9、最小値2、差分7⇒(7)に移行
(9)a-c=9のとき、Q=99×9=891⇔最大値9、最小値1、差分8⇒(8)に移行
以上より、a>cのとき任意の3桁の数は、
(5)に帰着する。即ち、495に帰着する。
[1]a=c (即ち、a=b=c)のとき、
Q
=(100a+10b+c)-(100c+10b+a)
=(100a+10a+a)-(100a+10a+a)
=0
即ち、a=cのとき任意の3桁の数は、0に帰着する。
No.8
- 回答日時:
以下の証明で、各文字は、0以上9以下の整数を表わすものとします。
また、3つの数字x,y,zをこの順に並べてできる3桁の数を[x|y|z]で表わすことにします。
[x|y|z]=100x + 10y + z
さて、a>b>cとします。ここで、a>c+1であることに注意してください。
[a|b|c]-[c|b|a] = [a-c-1|9|10+c-a] (ア)
ここで g=a-c-1, h=10+c-a とおきます。a>c+1より、1≦g≦8, 1≦h≦8
また, g+h=9 ですから g≠h
よって、9,g,hは互いに異なります。gとhのうち大きいほうをs, 小さいほうをtとおきます。
次の段階に進みます。
[9|s|t]-[t|s|9]=[s-1|9|t+1] (イ)
もし、s-1<t+1となった場合は、s=5, t=4であり、これ以後何度(イ)を適用しても差は495となります。
s-1>t+1のときは、s-1をあらためてs、t+1をあらためてtとおいて再び(イ)を適用します。すると、sは1回ごとに1減少、tは1回ごとに1増加するので、3回以内にs=5, t=4になります。(証明終)
No.9
- 回答日時:
最近似た質問があって一般化しようとしていたのですが
桁が増えるとなかなか難しくなります.
以下ぞろ目以外の場合の話です.
2桁の場合は最終的な数字はなく循環します.
3桁は質問者さんのおっしゃるように495ですね.
4桁では7回以内に6174に行き着きます.
5桁では
62964-71973-83952-74943 の形で循環するもの
61974-82962-75933-63954 の形で循環するもの
53955-59994 の形で循環するもの
の3通りがありました.
6桁は
851742-750843-840852-860832-862632-642654-420876で循環
549945 に収束.
631764 に収束.
のように循環と収束のパターンがあります.
7桁は全て循環でした.
う~ん,一般化は厳しいです.
参考URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=1215475
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