X、Zをm次正方行列、Yをm次正定値実対称行列としてX=YZ+ZYを満たすとする。 このとき、XY=

X、Zをm次正方行列、Yをm次正定値実対称行列としてX=YZ+ZYを満たすとする。
このとき、XY=YXならば、ZY=YZであることを示してください。

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/04/02 14:03

XY=YX に X=YZ+ZY を代入すると、

YZY+ZY^2=(Y^2)Z+YZY を経て
ZY^2=(Y^2)Z が言える。

Z のジョルダン標準形を D=(P^-1)ZP とし、
同じ P を使って W=(P^-1)YP と置く。
Z が正値対称行列なので、D は対角行列である。

ZY^2=(Y^2)Z に Z=PDP^-1 と Y=PW(P^-1) を代入すると、
PD(P^-1)(PWP^-1)^2=((PWP^-1)^2)PDP^-1 を経て
DW^2=(W^2)D が言える。

Dが対角行列であるため、W^2 は対角行列であると判る。
よってWも対角行列である。したがって、
ZY=PW(P^-1)(PDP^-1)＝PWDP^-1
=PDWP^-1=PD(P^-1)(PWP^-1)=YZ が成り立つ。

この回答へのお礼

正定値なのはYなので、回答は正しくありませんでしたが、参考になりました。回答ありがとうございました。

お礼日時：2021/04/02 15:03