放物線に円が1点(0,0)のみで内接する条件を教えてください…！

放物線に円が1点(0,0)のみで内接する条件を教えてください…！

No.1 回答者： Zincer 回答日時： 2021/04/09 09:33

放物線と円の交点（の座標）

と
それらを示す式の連立方程式の解
が同じ意味であることは分かりますね。
接する＝重解（１つの解）
ということです。
さて、放物線の軸がｙ軸である場合はその１点は放物線の頂点となりますので、円の半径が０でなければいけません。つまり実質的には内接することは不可能となります。
実際に計算したわけではありませんが、D＝０を満たすためにはｒ＝０という条件を満たす必要があるのでしょう。

No.2 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2021/04/09 10:01

放物線が上に凹ケースを想定すると、

円の中心を　（x,a） とすると、
x²+(y-a)²＝ｒ²　ですが、（0，0）をとおるので、
x²+(y-r)²＝ｒ²
x²+y²-2yr=0
これをyについて解くと、
y={2ｒ±√（4r²-4x²）}/2=ｒ±√(r²-x²)

放物線の式をy=bx²　ｂ＞0　とすると、
r-√(r²-x²)>bx²　（0<x≼ｒ）　（双方の式はｙ軸に対称であるため）
r-√(r²-x²)-bx²＞0　（0<x≼ｒ）　（r-√(r²-x²)-bx²＝0　ｘ＝0　は確認できる）
これを解けばよいような気がするけど、、、

論理的には、なぜ放物線及び円がy軸に対象になるのかについては説明しきれていない。　あと、下に凹ケースについても論じてはいない。

No.3 回答者： sukitaro 回答日時： 2021/04/09 10:12

どこまで一般的に書けばいいのか分かりませんが、

考える順番としては、以下のようになると思います。

まず、直線と放物線の内接する条件を考えてみます。
図を書けば、直線も、放物線も、原点を通らないといけないし、
原点での直線の傾きは、放物線の傾き（微分の結果）と
同じになっていないといけないことも分かるはずです。

次に、同じ向きに凸の放物線と放物線の内接する条件を考えてみます。
これも図を書けば、上記の条件のほかに、
曲率（2階微分の結果）の比較が必要だと分かるはずです。
内接したい方の放物線の原点での曲率が大きくないといけません。

上記の2つの具体例を考えたあとであれば、
放物線に円が内接したいときの条件も分かると思います。

放物線も円も、y軸に対称かどうか分からないので、
一般化した式を書いて解くのは結構大変だと思います。

No.4 回答者： kairou 回答日時： 2021/04/09 11:20

放物線が y=ax² と云う形ならば それほど難しくないが、

y=ax²+bx と云う形だと、物凄く 複雑になりますね。