極限についての問題です。 ロピタルの定理を使っていますが、それ以上解けなくなりました。 教えてくださ

極限についての問題です。
ロピタルの定理を使っていますが、それ以上解けなくなりました。
教えてください。
よろしくお願いいたします。

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/04/19 18:29

まず、2行目。

lim[x→0] ( (sin x)/x )^(1/x^2)
= lim[x→0] (1/x^2) log( (sin x)/x )
は、
lim[x→0] ( (sin x)/x )^(1/x^2)
= lim[x→0] e^ log( ( (sin x)/x )^(1/x^2) )
= e^ lim[x→0] log( ( (sin x)/x )^(1/x^2) )
= e^ lim[x→0] (1/x^2) log( (sin x)/x )
の間違いだろうと思います。

最後に e^ することにして
写真の式の続きを計算すると、
lim[x→0] { log(sin x) - (log x) }/x^2
= lim[x→0] { (cos x)/(sin x) - 1/x }/(2x)　；ロピタルの定理
= lim[x→0] { □ - 1/x^2 }/2
ここの □ は無茶苦茶です。写真のようになる理由が無い。

lim[x→0] { (cos x)/(sin x) - 1/x }/(2x)
= lim[x→0] { (x cos x) - (sin x) }/(2x^2 sin x)　；繁分数の解消
= lim[x→0] { - (x sin x) }/{ (4x sin x) + 2x^2 cos x) }　；再度ロピタルの定理
= lim[x→0] { - (sin x)/x }/{ 4(sin x)/x + 2cos x }　； x^2 で約分
= lim[x→0] { - 1 }/{ 4・1 + 2・1 }
= -1/6.
とでもしたらどうでしょう。

結局、
lim[x→0] ( (sin x)/x )^(1/x^2)
= e^ lim[x→0] { log(sin x) - (log x) }/x^2
= e^(-1/6)
になります。

この回答へのお礼

詳しく説明してくれてありがとうございました。

お礼日時：2021/04/19 18:59

No.8 回答者： syotao 回答日時： 2021/04/20 13:45

うん、だからロピタルを使いたいから

2行目の分母log(sinｘ/ｘ)をこのまま微分して分母に置きなおして
分子のｘ^2を微分して分子に置きなおすという意味ですよ。

No.7 回答者： konjii 回答日時： 2021/04/20 09:19

log(sinx/x)^1/x²＝(logsinx-logx)/x²

(logsinx-logx)/x²についてロピュタルの定理を適応
1回目、(cosx/sinx-1/x)/2x=(xcosx-sinx)/2x²sinx
2回目、(cosx-xsinx-cosx)/(4xsinx+2x²cosx)=-sinx/(4sinx+2xcosx)
3回目、-cosx/(4cosx+2cosx-2xsinx)
lim[x→0] -cosx/(4cosx+2cosx-2xsinx)=-1/6
lim[x→0] (sinx/x)^1/x²=e^-1/6

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/04/20 04:07

1行目

と
2行目は等しくないので
間違っています

No.5 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/04/19 23:20

{(cosx/sinx)-(1/x)}/2x まであってますが、次の -1/x²は＋1/x²

の間違いです。ここは　(-∞-∞)/2=-∞となって気づく所です。

このように、これらの計算は面倒で、まともに行うと計算ミスを生
じやすい。そこで、収束する部分を見つけて、分離してなるべくシ
ンプルな形にすることを目指します。

(x/sinx),(sinx/x) → 1 はロピタルで自明。

{(cosx/sinx)-(1/x)}/2x=(x/sinx)(xcosx-sinx)/2x³
→ １・(xcosx-sinx)/2x³
→ (cosx-xsinx-cosx)/(6x²) (ロピタル)
=-xsinx/(6x²)=(-1/6)sinx/x → -1/6

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/04/19 19:15

その1行目

と
2行目は等しくありません

No.2 回答者： konjii 回答日時： 2021/04/19 17:42

(log(sinx/x))/(x^2)にロピタルの定理を３回適用すると

(-cosx)/(4cosx+2cosx-2xsinx)
と言う式になるので、x→0のときlog(与式)→-1/6に収束すると分かる。
つまり与式はe^(-1/6)に収束する。

この回答へのお礼

途中式を教えていただきたいですが、

お礼日時：2021/04/19 17:44

No.1 回答者： syotao 回答日時： 2021/04/19 16:31

その2行目から3行目は

logを差に分けずにそのまま分母分子を微分する。
でてきた分母分子をｘで約分する。
その分母分子をさらに微分する。
でてきた分母分子をxで約分する。
さらに分母分子をｘでわってｘ→0とすればよい。

この回答へのお礼

そのまま微分すれば
（log（sinx）’/x‘）/（x^2）’
=logcosx/2x
=log（-sinx）/2
....

できてないです。
頭悪くてすみませんが、教えてください。

お礼日時：2021/04/19 16:49