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極限についての問題です。
ロピタルの定理を使っていますが、それ以上解けなくなりました。
教えてください。
よろしくお願いいたします。

「極限についての問題です。 ロピタルの定理」の質問画像
gooドクター

A 回答 (8件)

まず、2行目。


lim[x→0] ( (sin x)/x )^(1/x^2)
= lim[x→0] (1/x^2) log( (sin x)/x )
は、
lim[x→0] ( (sin x)/x )^(1/x^2)
= lim[x→0] e^ log( ( (sin x)/x )^(1/x^2) )
= e^ lim[x→0] log( ( (sin x)/x )^(1/x^2) )
= e^ lim[x→0] (1/x^2) log( (sin x)/x )
の間違いだろうと思います。

最後に e^ することにして
写真の式の続きを計算すると、
lim[x→0] { log(sin x) - (log x) }/x^2
= lim[x→0] { (cos x)/(sin x) - 1/x }/(2x) ;ロピタルの定理
= lim[x→0] { □ - 1/x^2 }/2
ここの □ は無茶苦茶です。写真のようになる理由が無い。

lim[x→0] { (cos x)/(sin x) - 1/x }/(2x)
= lim[x→0] { (x cos x) - (sin x) }/(2x^2 sin x) ;繁分数の解消
= lim[x→0] { - (x sin x) }/{ (4x sin x) + 2x^2 cos x) } ;再度ロピタルの定理
= lim[x→0] { - (sin x)/x }/{ 4(sin x)/x + 2cos x } ; x^2 で約分
= lim[x→0] { - 1 }/{ 4・1 + 2・1 }
= -1/6.
とでもしたらどうでしょう。

結局、
lim[x→0] ( (sin x)/x )^(1/x^2)
= e^ lim[x→0] { log(sin x) - (log x) }/x^2
= e^(-1/6)
になります。
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この回答へのお礼

詳しく説明してくれてありがとうございました。

お礼日時:2021/04/19 18:59

うん、だからロピタルを使いたいから


2行目の分母log(sinx/x)をこのまま微分して分母に置きなおして
分子のx^2を微分して分子に置きなおすという意味ですよ。
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log(sinx/x)^1/x²=(logsinx-logx)/x²


(logsinx-logx)/x²についてロピュタルの定理を適応
1回目、(cosx/sinx-1/x)/2x=(xcosx-sinx)/2x²sinx
2回目、(cosx-xsinx-cosx)/(4xsinx+2x²cosx)=-sinx/(4sinx+2xcosx)
3回目、-cosx/(4cosx+2cosx-2xsinx)
lim[x→0] -cosx/(4cosx+2cosx-2xsinx)=-1/6
lim[x→0] (sinx/x)^1/x²=e^-1/6
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1行目



2行目は等しくないので
間違っています
「極限についての問題です。 ロピタルの定理」の回答画像6
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{(cosx/sinx)-(1/x)}/2x まであってますが、次の -1/x²は+1/x²


の間違いです。ここは (-∞-∞)/2=-∞となって気づく所です。

このように、これらの計算は面倒で、まともに行うと計算ミスを生
じやすい。そこで、収束する部分を見つけて、分離してなるべくシ
ンプルな形にすることを目指します。

(x/sinx),(sinx/x) → 1 はロピタルで自明。

{(cosx/sinx)-(1/x)}/2x=(x/sinx)(xcosx-sinx)/2x³
→ 1・(xcosx-sinx)/2x³
→ (cosx-xsinx-cosx)/(6x²) (ロピタル)
=-xsinx/(6x²)=(-1/6)sinx/x → -1/6
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その1行目



2行目は等しくありません
「極限についての問題です。 ロピタルの定理」の回答画像4
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(log(sinx/x))/(x^2)にロピタルの定理を3回適用すると


(-cosx)/(4cosx+2cosx-2xsinx)
と言う式になるので、x→0のときlog(与式)→-1/6に収束すると分かる。
つまり与式はe^(-1/6)に収束する。
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この回答へのお礼

途中式を教えていただきたいですが、

お礼日時:2021/04/19 17:44

その2行目から3行目は


logを差に分けずにそのまま分母分子を微分する。
でてきた分母分子をxで約分する。
その分母分子をさらに微分する。
でてきた分母分子をxで約分する。
さらに分母分子をxでわってx→0とすればよい。
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この回答へのお礼

そのまま微分すれば
(log(sinx)’/x‘)/(x^2)’
=logcosx/2x
=log(-sinx)/2
....

できてないです。
頭悪くてすみませんが、教えてください。

お礼日時:2021/04/19 16:49

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