ベクトルの内積

平面上に 4 点 O, A, B, C があり、
↑OA ・↑OB =↑OB ・↑OC =↑OC ・↑OA = 1
をみたしている。このとき、線分 OA, OB, OC のうち
少なくともひとつは長さが 1 以下であることを示せ。

教えてください。なるべく詳細な解説をお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/05/18 21:34

(↑OA,↑OB)=(↑OB,↑OC)=(↑OC,↑OA)=1

|OB|<|OA|の時AとBの変数名を入れ替えて
|OA|≦|OB|とする
|OC|<|OA|の時AとCの変数名を入れ替えて
|OA|≦|OC|とする
とする
1<|OA|
と仮定する

1=(↑OA,↑OB)=|OA||OB|cos∠AOB
|OA||OB|cos∠AOB=1
|OB|cos∠AOB=1/|OA|
(|OB|cos∠AOB)^2=1/|OA|^2
(|OB|sin∠AOB)^2={(|OA||OB|^2)-1}/|OA|^2
|OB|sin∠AOB=[±√{(|OA||OB|)^2-1}]/|OA|
1=(↑OA,↑OC)=|OA||OC|cos∠AOC
|OA||OC|cos∠AOC=1
|OC|cos∠AOC=1/|OA|
(|OC|cos∠AOC)^2=1/|OA|^2
(|OC|sin∠AOC)^2={(|OA||OC|)^2-1}/|OA|^2
|OC|sin∠AOC=[±√{(|OA||OC|)^2-1}]/|OA|

1
=(↑OB,↑OC)
=|OB||OC|cos∠BOC
=|OB||OC|cos(∠AOB-∠AOC)
=|OB|cos(∠AOB)|OC|cos(∠AOC)+|OB|sin(∠AOB)|OC|sin(∠AOC)
=(1±√[{(|OA||OB|)^2-1}{(|OA||OC|)^2-1}])/|OA|^2

1=(1±√[{(|OA||OB|)^2-1}{(|OA||OC|)^2-1}])/|OA|^2
|OA|^2=1±√[{(|OA||OB|)^2-1}{(|OA||OC|)^2-1}]
↓|OA|>1だから
|OA|^2-1=√[{(|OA||OB|)^2-1}{(|OA||OC|)^2-1}]
(|OA|^2-1)^2={(|OA||OB|)^2-1}{(|OA||OC|)^2-1}

|OB|≧|OA|だから
|OA||OB|≧|OA|^2
|OA||OB|-1≧|OA|^2-1
(|OA||OB|)^2-1≧(|OA||OB|+1)(|OA|^2-1)

|OC|≧|OA|だから
|OA||OC|≧|OA|^2
|OA||OC|-1≧|OA|^2-1
(|OA||OC|)^2-1≧(|OA||OC|+1)(|OA|^2-1)

{(|OA||OB|)^2-1}{(|OA||OC|)^2-1}≧(|OA||OB|+1)(|OA||OC|+1)(|OA|^2-1)^2
だから
(|OA|^2-1)^2≧(|OA||OB|+1)(|OA||OC|+1)(|OA|^2-1)^2
↓両辺を(|OA|^2-1)^2で割ると
1≧(|OA||OB|+1)(|OA||OC|+1)
となって
(|OA||OB|+1)(|OA||OC|+1)>1に矛盾するから
∴
|OA|≦1

この回答へのお礼

ありがとうございました。
とても丁寧な回答で非常にわかりやすかったです。

お礼日時：2021/05/18 23:05

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/05/18 23:36

どこまでできていてどこで困っている?

この回答へのお礼

荒らさないでください…。

お礼日時：2021/05/19 05:38