点とベクトルの問題について

ベクトルを最近ならい始めた者です。

数学得意な方に質問です。

この問題の意図が全くつかめないので、どなたか回答して下さりますでしょうか。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/05/27 21:57

この問題の意図は、幾何の基本的な条件が

ベクトルの式に翻訳できるかどうかの確認です。

長さは、内積で扱うと便利なことが多い。
｜AB｜ = ｜AC｜ は、｜→AB｜² = ｜→AC｜² と同値なので、
内積で表して (→AB)・(→AB) = (→AC)・(→AC) です。
位置ベクトルで書き直せば、
(→b - →a)・(→b - →a) = ((- →b) - →a)・((- →b) - →a).
両辺の括弧を展開して整理すると、
- (→b)・(→a) = (→b)・(→a) を経て (→b)・(→a) = 0.　　←[1]

一方、AM ⊥ BC のほうは、(→AM)・(→BC) = 0なので、
位置ベクトルで書き直せば、
(- →a)・((- →b) - →b) = 0. すなわち (-2)(→a)・(→b) = 0.　←[2]　

[1] ならば [2] が成り立つことは、簡単ですね？