2次式2x^2−6x＋5を複素数の範囲で因数分解すると 2(x−2/3＋i)(x−2/3−i)と分解

2次式2x^2−6x＋5を複素数の範囲で因数分解すると
2(x−2/3＋i)(x−2/3−i)と分解できるんですが
高次元の因数分解2x^3＋x^2＋5x−3を因数分解する問題で答えは(2x−1)(x^2＋x＋3)となるんですが
(x^2＋x＋3)を上の複素数の範囲で分解をさらにできないんですか？できない理由も教えてほしいです

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/06/04 20:16

(実係数も含む複素係数の)2次方程式は、

複素係数の範囲で必ず、1次式の積に分解できます。
x^2+x+3 でも 2x^2-6x+5 でもやり方は同じ。
解公式で2次方程式を解いて、因数定理へ持ち込めばよいです。
f(α) = 0 が成り立てば、f(x) は (x-α) で割り切れます。

x^2+x+3 = 0 の解が x = { -1±√(1-4・3) }/2 なので、
x^2+x+3 = 1・(x - { -1+√(-11) }/2)(x - { -1-√(-11) }/2)
となります。

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/06/04 16:32

2x^2-6x+5

=2(x^2-3x+5/2)
=2{(x-3/2)^2+1/4}
=2{x-(3+i)/2}{x-(3-i)/2}

x^2+x+3
=(x+1/2)^2+11/4
={x+(1+i√11)/2}{x+(1-i√11)/2}

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2021/06/04 14:38

問題文に「複素数の範囲で因数分解しなさい」

と云う意味の 指示が無ければ 実数の範囲もしくは
有理数の範囲で 因数分解をするのが 普通です。

No.2 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2021/06/04 13:34

勿論、出来ますよ。

単に因数分解と言ったら実数の範囲です。

xのn次方程式f(x)=0は複素数の範囲内でn個の根を必ず持ちます。

その根を使って
f(x)=(x-α₁)(x-α₂)・・・(x-αₙ)と、必ず因数分解できる。

No.1 回答者： finalbento 回答日時： 2021/06/04 13:21

f(x)=0

をn次方程式とし、その複素数の範囲での解を

α1、α2、…αn

とすると、f(x)は複素数の範囲で以下のように因数分解できる事になります。

f(x)=(x-α1)(x-α2)…(x-αn)

なので質問文の式の場合で言えば

x^2+x+3=0

の解を求めれば、それを利用して因数分解できます。