No.1ベストアンサー
- 回答日時:
1.
ベクトル<r>がパラメータtの表示のとき、「'」は d/dt とすると
κ=|<r>'×<r>''|/|<r>'|³
2.
y=f(x)のとき、「'」は d/dx とすると
κ=|y''|/(1+y'²)³/²
3.
(1)
<r>=<tcost, tsint, 0> ,
<r>'=<cost-tsint, sint+tcost, 0>
<r>''=<-2sint-tcost, 2cost-tsint, 0>
<r>'×<r>''
=<0, 0, (cost-tsint)(2cost-tsint)+(sint+tcost)(2sint+tcost)>
=<0, 0, 2cos²t+t²sin²t-3tsintcost+2sin²t+t²cos²t+3tsintcost>
=<0, 0, 2+t²>
|<r>'×<r>''|=|2+t²|=2+t²
|<r>'|³={(cost-tsint)²+(sint+tcost)²}³/²=(1+t²)³/²
κ=(2+t²)/(1+t²)³/²
(2)
b²x²-a²y²=(ab)²
2x/a²-2yy'/b²=0 → y'=(b²/a²)x/y
1/a²-(y'²+yy'')/b²=0
→ |y''|=|(b²/a²-y'²)/y|=|{b²/a²-(b²/a²)²(x/y)²}/y|
=(b²/a⁴)|(a²y²-b²x²)/y³|=(b⁴/a²)/|y³|
(1+y'²)³/²=(1+(b²/a²)²(x/y)²)³/²={(a⁴y²+b⁴x²)³/²}/a⁶|y|³
={(a²(b²x²-a²b²)+b⁴x²)³/²}/a⁶|y|³
={((a²+b²)x²-a⁴)³/²}b³/a⁶|y|³
κ=(b⁴/a²)/[{((a²+b²)x²-a⁴)³/²}b³/a⁶]=a⁴b/((a²+b²)x²-a⁴)³/²
(3)
y'=2ax , y''=2a
κ=2|a|/(1+(2ax)²)³/²
(4)
<r>=ae^θ<cosθ, sinθ, 0> , 「'」を d/dθとすると
<r>'=ae^θ<cosθ, sinθ, 0>+ae^θ<-sinθ, cosθ, 0>
=ae^θ<cosθ-sinθ, sinθ+cosθ, 0>
<r>''=ae^θ<cosθ-sinθ, sinθ+cosθ, 0>
+ae^θ<-sinθ-cosθ, cosθ-sinθ, 0>
=ae^θ<-2sinθ, 2cosθ, 0>
|<r>'×<r>''|=a²e^2θ |(cosθ-sinθ)2cosθ+(sinθ+cosθ)2sinθ|
=2a²e^2θ
|<r>'|³=a³e^3θ {(cosθ-sinθ)²+(sinθ+cosθ)²}³/²
=(2)³/² a³e^3θ
κ=1/{(√2)ae^θ}
(5)
r=a(1+cosθ) ・・・ 訂正
(4)に準じて
<r>=a<(1+cosθ)cosθ, (1+cosθ)sinθ, 0>
=a<cosθ+cos²θ, sinθ+(sin2θ)/2, 0>
<r>'=a<-sinθ-2cosθsinθ, cosθ+cos2θ, 0>
=a<-sinθ-sin2θ, cosθ+cos2θ, 0>
<r>''=a<-cosθ-2cos2θ, -sinθ-2sin2θ, 0>
|<r>'×<r>''|
=a²|(sinθ+sin2θ)(sinθ+2sin2θ)+(cosθ+cos2θ)(cosθ+2cos2θ)|
=a²|3+3(cosθcos2θ+sinθsin2θ)|=3a²|1+cos(2θ-θ)|
=3a²|1+cosθ|=6a²cos²(θ/2)
|<r>'|³=a³{(sinθ+sin2θ)²+(cosθ+cos2θ)²}³/²
=a³{2+2cosθ}³/²=a³{4cos²(θ/2)}³/²
=8a³|cos(θ/2)|³
κ=3/{4a|cos(θ/2)|}
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