整級数の問題です。問題5.81.の示し方が分かりません。解説していただけると幸いです。

整級数の問題です。問題5.81.の示し方が分かりません。解説していただけると幸いです。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/06/18 23:37

示し方は、そこに書いてあるじゃん。

ｘ² の冪級数に対してダランベール法で収束半径を求めるって。
そのとおりにやってみ。

この回答へのお礼

cosのx^2のべき級数に対してダランベールで求めようとすると、r=1になってしまうと思うのですが(間違ってたら言ってください)、実際の収束半径って確か∞ですよね？r=1になってからどう進めたら良いのか分かりません…

お礼日時：2021/06/20 19:47

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/06/20 20:02

＞ cos の x^2 のべき級数に対してダランベールで求めようとすると、

＞ r=1 になってしまうと思うのですが(間違ってたら言ってください)

間違っています。
cos, sin のマクローリン展開は、
cos x = Σ[k=0→∞] { (-1)^k }{ 1/(2k)！ } x^(2k),
sin x = Σ[k=0→∞] { (-1)^k }{ 1/(2k+1)！ } x^(2k+1)　です。
x^2 = u と置けば
cos x =　Σ[k=0→∞] { (-1)^k }{ 1/(2k)！ } u^k,
sin x =　x Σ[k=0→∞] { (-1)^k }{ 1/(2k+1)！ } u^k　と書けます。
この右辺の、 u に関する冪級数にダランベール法を使えば、
u についての収束半径はそれぞれ
cos：　lim[k→∞] ｜ { (-1)^k }{ 1/(2k)！ } / { (-1)^(k+1) }{ 1/(2(k+1))！ } ｜
　　　= lim[k→∞] (2k+2)(2k+1)
　　　= ∞,
sin：　lim[k→∞] ｜ { (-1)^k }{ 1/(2k+1)！ } / { (-1)^(k+1) }{ 1/(2(k+1)+1)！ } ｜
　　　= lim[k→∞] (2k+3)(2k+2)
　　　= ∞
なので、 x についての収束半径は、 √∞ = ∞ です。

r=1 は、どのように計算しました？

この回答へのお礼

なるほど理解しました。
x^2のべき級数ということの意味を履き違えてました。
-(x^2/2！)という実際にk=2を代入した形で考えてしまい、lim[k→∞]|-{(k+1)^2/2！}/{k^2/2！}|=1と考えてしまいました。

お礼日時：2021/06/20 20:08