数学の質問です。 空間内に4点 A（3,0,4）、B（-3,0,-4）、C（0,10,0）、D（−8

数学の質問です。
　
空間内に4点　A（3,0,4）、B（-3,0,-4）、C（0,10,0）、D（−8,5,6）を取る。このとき、四面体ABCDの体積Vを求めよ

という問題で、平面BCDを底面にして考えるようにしました。
ベクトル（以下、ベクと呼称）BC＝（3,10,4）、
ベクBD＝（−5,5,10）で
外積ベクBC×ベクBD＝（80,−50,65）
これは方向ベクトルだから、簡略化して、（16,−10,13）...①
①と点Cを使い、平面BCDの方程式は
16x−10y＋13z＋100＝0...②
①と②から、点と平面の距離は、
｜16・3−10・0＋13・4＋100｜
ーーーーーーーーーーーーーーーー　　＝200/√2
√16²＋10²＋13²
これが高さで、

BCDの面積S
＝1/2√｜ベクBC｜²・｜ベクBD｜²−（ベクBC・ベクBD）²＝1/2・25√21
これが面積だから、

体積Vは、
200/√2・1/2・25√21・1/3＝...

となったのですが、答えは500/3で、全く違うものになってしまいました。どこが間違っているのか何度も確かめましたが、わかりませんでした。長文で読みづらいかもしれませんが、詳しい方どうかお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2021/06/24 15:47

ちなみに　外積が分かっているなら説明不要かと思いますが

外積とは　2つのベクトルを2辺となす平行四辺形の大きさをもち
向きはこの平行四辺形に垂直なベクトルです
つまり　|BCxBD|はBCとBDを2辺とする平行四辺形の面積を意味します

外積のこのことは広く知られた常識

対して、
S＝1/2√｜ベクBC｜²・｜ベクBD｜²−（ベクBC・ベクBD）²
これは教科書には出てこない準公式とでもいえる式

もし入試で後者を使うなら要注意かも
というのも
導出もなしにこれを誰でもが知っている（教科書に載っている）公式と同様に使ってしまうと
説明不足で原点かもね・・・（要注意）

この回答へのお礼

外積の絶対値を求めることで、それが平行四辺形の面積を意味することは知りませんでした！
助かりました！

お礼日時：2021/06/30 15:50

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2021/06/24 15:41

高さ＝200/(5√21)

S＝(1/2)｜BCXBD|=(1/2)√(80²+50²+65²)
=(1/2)√13125
=(1/2)25√21
ですから
V=(1/3)Sh
=(1/6)x200x5
=500/3
　
高さ計算のミスですね