(運動量保存、ベクトル図法) (3)のVとθを参考書にあったベクトル図法というもので解こうとしたらで

(運動量保存、ベクトル図法)
(3)のVとθを参考書にあったベクトル図法というもので解こうとしたらできなかったのですが、これは三角形のうちどこかが90度になっていないと使えないものなのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• 問題です

  
    補足日時：2021/07/04 12:08

• ベクトル図法についてです

  
    補足日時：2021/07/04 12:12

• 角度があまり関係ないということと成分を使って計算ができるということはよく分かりました！m(*_ _)m
  ですが下の写真のように計算してはいけないのがなぜなのかまだ分からないです。。

  
    補足日時：2021/07/04 18:23

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2021/07/04 13:27

＞これは三角形のうちどこかが90度になっていないと使えないものなのでしょうか？

「三角形のうちどこかが90度」ということではなく、「質量の違い」がある場合には、「速度ベクトル」と「運動量ベクトル」が一致しないからです。
物体の質量が異なれば、「速度ベクトル」と「運動量ベクトル」は大きさが異なることに注意が必要です（向きは同じですが）。

「補足・その２」に載っている例は「同じ質量の物体」の衝突ですが、質問の例題は
「異なる質量の物体の衝突で、しかも衝突後は物体が合体して質量が変わる」という場合なので、条件が異なります。
残念ながら、例題の場合には「ベクトル図法」は単純には使えないと考えた方がよいです。

問題文の図は、おそらく「速度ベクトル」
A：→va = (2v･cos(30°), 2v･sin(30°)) = ((√3)v, v)
B：→vb = (0, v)
で書かれていますから、 →va の y成分（v）と →vb の y成分（v）が等しいように書かれています。
でも、それは「運動量」ベクトルの図にはなっていません。

もし、きちんと「運動量ベクトル」が作図できるなら、
衝突前の運動量（Pa, Pb）は、
A：大きさ 2mv で真上向き、つまりベクトルでは
　→Pa = (0, 2mv)
B：大きさ 2mv で x 軸と 30° をなす方向、つまりベクトルでは
　→Pb = (2mv･cos(30°), 2mv･sin(30°)) = ((√3)mv, mv)

この２つのベクトルの合成を行えば、
　→Pa + →Pb = ((√3)mv, 3mv)
になり、それが衝突後の運動量
　3m(→V) = ((√3)mv, 3mv)
になります。
これより
　→V = ([(√3)/3]v, v)
なので、
　tanθ = Vy/Vx = 1/[(√3)/3] = 3/√3 = √3
　|→V| = v√{[(√3)/3]^2 + 1^2} = v√(1/3 + 1) = √(4/3)v = (2/√3)v
　　　　= [(2√3)/3]v
になります。

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2021/07/04 13:31

ベクトルの作図法の意味が正しくわかっていないだけのことだと思われます。

作図法自体は90度の角度云々ということはあまり関係ありません
例
(→a)＋(→b)=(→c)だとすれば…①
これを作図すると
aの始点からスタートしてベクトルaを作図
aの矢印の先端にｂの始点をそろえて　ｂの矢印を作図
途中経過は不問で、一番目の始点（→aの始点と　最終的なベクトルの矢印の先端(→bの先端)を結んだものが　→cを表す矢印
ただこれだけのことです…①

今回は　運動量を表すベクトルを→P₁、→P₂、→P₃などすれば
この３つのベクトルの間で①の作図法が通用します
たとえば→P1と　速度→V₁　などの間では作図法は通用しません
何故なら　→Pは運動量、　→V1は速度
でベクトルの種類が違うからです
同種のベクトルの間でのみ　「ベクトル図法」なるものが成立するのです

なので、たとえば→p=m(→V)について
運動量というベクトルのみでまずはベクトル図を書いて
把握すべき運動量のベクトル→Pをまずは把握
その後、速度を知りたければ
→V=(→P)/mというように　※1/m倍してあげることです
※の作業をすることで　はじめて運動量ベクトルが速度ベクトルに変わるのです

また、現行過程で履修するかどうか知りませんが
数学Bあたりのベクトルの単元を習得した人なら
→V=(→P)/m
⇔→V=(1/m)(→P)は
→a=k(→b)というベクトルの平衡条件を満たしていることが分かるので
運動量ベクトルむきと　速度ベクトん向きは平行だということが読み取れます

で、ここまでは角度90度ということは無関係です

各運動量ベクトルPの矢印の長さ（Pの大きさ）を把握したいときには
90度があると有利です
なぜならば　三角比や三平方の定理などが使えるからです
でも、余弦定理などなど数学で習った知識もあるはずですから
90度がないと解析不能という事ではありません！
（ベクトル図法で作図までは角度はあまり関係なし
作図完了後　各辺の長さを把握したいときに角度が関係してくる！）

さらに、→Vのｘ方向成分と、ｙ成分を知りたければ
→速度ベクトルの矢印んお先端からｘ軸へ垂線降ろして直角三角形を作ります
その後基本的には、三角比を利用すればｘ成分、ｙ成分が分かるというわけです

なお、角度不明の場合や、たとえば21°なんていう三角比を利用しずらい角度が出てくる場合は（まあ、あまりないケースですが）は
ベクトルの成分計算を利用して解析することができます
たとえば、→Ｖは大きさ√2m/sで　向きが北西ということなら
真北をy軸、真東をｘ軸にとって
→Ｖ=(1、１）と表せるのです
意味は　→Ｖのx成分が１，ｙ成分も１という事です
もうひとつの速度ベクトルWについて　
その成分が
→W=(2,3)ということなら
Ｗの成分は東に２，北に３という事です
このとき　→Ｗとx軸のなす角度は分かりづらいですよね
まあ　向きが北東よりくらい　という事はわかりますが
（ちなみに三平方の定理で　→Wの大きさは　√(2²+3²)=√13)7

このとき、ベクトルの作図法で　→V＋→Wの結果を図面に書き表すとは可能
でも、角度は不明
でも、ベクトルの成分計算で
(→V)+(→W)=(1,1)+(2,3)=(3,4)
つまり　この足し算の結果は東方向へ３，北方向へ４という成分で
あることがわかるのです

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2021/07/04 23:04

No.3 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2021/07/04 19:48

No.1 です。

「補足」を見ました。

＞ですが下の写真のように計算してはいけないのがなぜなのかまだ分からないです。。

写真に書かれたものが、「ベクトルの加算」になっていないことが分かりませんか？

上の図の「真上向きの 2m･v」と「右上向きの m･2v」は、「大きさ」は同じですが、向きが違います。
従って、2番目の図の２つの「2v」は方向が異なるベクトルですから、
　2→v + 2→v = 4→v
などという加算は成立しません。

ベクトルが「大きさ」と「方向」をもつことをお忘れなく！

この回答へのお礼

今気付きました！
ありがとうございます！

お礼日時：2021/07/04 23:04