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「0≦x<2πの範囲で、以下の方程式の解を求めよ。
(1) sin^3x+cos^3x=1
(2) sin^3x+cos^3x+sinx=2」
という問題について質問です。
(2)は(1)の結果を利用して解く問題ですか?

A 回答 (2件)

(1)


(sinx)^3+(cosx)^3=1
↓(sinx)^2+(cosx)^2=1だから
(sinx)^3+(cosx)^3=(sinx)^2+(cosx)^2
↓両辺に-(sinx)^3-(cosx)^2を加えると
(cosx)^3-(cosx)^2=(sinx)^2-(sinx)^3
((cosx)-1)(cosx)^2=(1-sinx)(sinx)^2

↓0≧((cosx)-1)(cosx)^2=(1-sinx)(sinx)^2≧0だから

0=((cosx)-1)(cosx)^2=(1-sinx)(sinx)^2=0

(cosx=1またはcosx=0)かつ(sinx=1またはsinx=0)
cosx=1の時sinx=0,x=0
cosx=0の時sinx=1,x=π/2

x=0またはπ/2

(2)
(sinx)^3+(cosx)^3+sinx=2
↓(sinx)^2+(cosx)^2=1だから
(sinx)^3+(cosx)^3+sinx=1+(sinx)^2+(cosx)^2
↓両辺に-sinx-(sinx)^3-(cosx)^2を加えると
(cosx)^3-(cosx)^2=1-sinx+(sinx)^2-(sinx)^3
((cosx)-1)(cosx)^2=1-sinx+(1-sinx)(sinx)^2
((cosx)-1)(cosx)^2=(1-sinx){1+(sinx)^2}

↓0≧((cosx)-1)(cosx)^2=(1-sinx){1+(sinx)^2}≧0だから

0=((cosx)-1)(cosx)^2=(1-sinx){1+(sinx)^2}=0

(1-sinx){1+(sinx)^2}=0

sinx=1

x=π/2
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(1)


 sin³x+cos³x=sin²x+cos²x → sin²x(sinx-1)+cos²x(cosx-1)=0
  → (1-cos²x)(sinx-1)+cos²x(cosx-1)=0
  → (cosx-1){-(1+cosx)(sinx-1)+cos²x}=0
  → (cosx-1){cos²x-(sinx-1)cosx-(sinx-1)}=0
  → (cosx-1)[{cosx-(sinx-1)/2}²-(sinx-1)²/4-(sinx-1)]=0
  → (cosx-1)[{cosx-(sinx-1)/2}²+(1-sinx){1-(1-sinx)/4}]=0

ここで、上式が成り立つのは
 cosx-1=0・・・・①
である。また、[ ]内が0の時もあるが、これが成り立つには
(1-sinx)≧0 である。また -(1-sinx)/4=0~-1/2 なので
{1-(sinx-1)/4}>0 となるから

少なくとも 1-sinx=0 が必要となる。このときは cosx=0 だから
[ ]内も0となり、
 1-sinx=0・・・・②
も条件を満たす。①②の解は
 x=0 , π/2
となる。


(2)
同様に
 sin³x+cos³x+sinx=(sin²x+cos²x)+1
  → sin²x(sinx-1)+cos²x(cosx-1)+sinx-1=0
  → sin²x(sinx-1)+(1-sin²x)(cosx-1)+sinx-1=0
  → (sinx-1){sin²x-(1+sinx)(cosx-1)+1}=0

  → (sinx-1)[{sinx-(cosx-1)/2}²-(cosx-1)²/4-(cosx-1)+1]=0
  → (sinx-1)[{sinx-(cosx-1)/2}²-{(cosx-1)/2+1}²+2]=0

ここで、上式が成り立つのは
 sinx-1=0・・・・③
である。また、[ ]内であるが、これが成り立つには
(cosx-1)/2=0~-1 → {(cosx-1)/2+1}²=0~1 である。すると
-{(cosx-1)/2+1}²+2≧1 であり、[ ] 内は正となる。つまり、条件
を満たすのは③のみとなる。

③の解は
 x=π/2
となる。
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