曲面の方程式を求め方

x=asin u cos v
y=bsin u sin v
z=ccos u

とする。ただし、a,b,cは正の定数で、
0≦u≦π 0≦v≦2π とする。

上記のように表される曲面の方程式
の求め方が分かりません。
分かる方教えて下さい。

陰関数表示でお願いします。
できれば、色んな表示の仕方も教えてもらえると
勉強になります。

No.2 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2011/05/08 10:08

>曲面の方程式の求め方が分かりません。

>陰関数表示でお願いします。
x=asin u cos v
y=bsin u sin v
z=ccos u
式を見れば楕円体の曲面の球座標系の式になっていますね。
http://homepage3.nifty.com/first_physics/vector_ …
r = (r ,θ ,φ )
θ⇒u ,φ⇒v, r⇒x/a=y/b=z/c
に対応しています。
これから r=1=(x/a)^2+(y/b)^2+(z/c)
と求める陰関数表示が直ぐ出てきますね。

でも良く分からないかも知れないのでu,vの消去法で陰関数表現を求めてみる。

デカルト座標系（xyz座標系）の陰関数表示は以下のように求めます。
x^2=a^2 sin^2 u cos^2 v
y^2=b^2 sin^2 u sin^2 v

公式 sin^2 v +cos-2 v=1を使って vを消去します。
x^2/a^2 +y^2/b^2=sin^2 u (cos^2 v+sin^2 v)
x^2/a^2 +y^2/b^2=sin^2 u

今度は公式 sin^2 u +cos-2 u=1を使って uを消去します。
z^2=c^2 cos^2 u

sin^2 u +cos-2 u=(x^2/a^2 +y^2/b^2)+(z^2/c^2)=1
∴x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 = 1
これが陰関数表示になります。
0≦u≦π 0≦v≦2πなので
-a≦x≦a, -b≦y≦b, -c≦z≦c
の範囲をとります。いわゆる楕円体の曲面を表します。
http://www.asahi-net.or.jp/~jb2y-bk/NaturalSci/m …

>色んな表示の仕方も教えてもらえると
円筒座標系(円柱座標系)の表示では
(r ,θ ,z ),0≦θ≦2π
r→x/a=y/b
z→z/c
という関係にありθ=u, z=v とおけば
x=av cos u, y=bv sin u, z=c v
(0≦u≦2π, -1≦v≦1)

この式からも　(x/a)^2 + (y/b)^2 + (z/c)^2 =1
と陰関数表示が出てきます。

また陽関数表示 z=f(x、y) にすると
z=±c√{1-(x/a)^2 -(y/b)^2}
となります。

参考URL：http://www.asahi-net.or.jp/~jb2y-bk/NaturalSci/m …

この回答へのお礼

とても丁寧にありがとうございました！
わかりやすかったです。

お礼日時：2011/08/02 18:21

No.3 回答者： noname#171582 回答日時： 2011/05/08 13:03

a=1

b=3
c=2
の場合のグラフです。

No.1 回答者： nag0720 回答日時： 2011/05/08 02:59

x/a=sin u cos v

y/b=sin u sin v
z/c=cos u

(x/a)^2+(y/b)^2+(z/c)^2=1