合同式

以前も合同式について質問したのですが混乱してしまったのでまた教えてください
すいません
２桁の自然数でその２乗した数の下２桁がもとの２桁の自然数に一致するものがある。
このような２桁の自然数を求める問題で

２桁の自然数10x＋yとおくと
２乗すると
(10x＋y)＾2=100(x＾2)＋10・2xy＋y＾2

となって
y=1のとき(y＾2)=1
y=5のとき(y＾2)=25
Y=6のとき(y＾2)=36

(i)y=1のとき
なぜ2x≡x(mod10) x≡0（mod10)
になるのでしょうか？
(ii)
y=5のとき
なぜ
2xy＋2=10x＋2≡2(mod10)となるのですか？
(iii)
なぜ
2xy＋2=12x＋2≡2(mod10)と表されるのでしょうか？
そして、
2x＋3≡x(mod10)
x＋3≡(mod10)
はどこから現れたのですか？
そして、x=7ということはどこからでるのですか？
質問ばかりですいません

合同式は基礎しかわかりません
例えば５で割って割りきれる数を合同で表すと
0≡5≡10≡15≡(mod5)
私はこのぐらいしかわかりません
お願いします

No.2 回答者： jmh 回答日時： 2005/03/06 08:24

> なぜ2x≡x(mod10) x≡0（mod10)

多分、筆算じゃないでしょうか。例えば、筆算で下１桁が１の数を２乗すると、次のようになります。このことから、下１桁が１の数を２乗した数の十の位は、元の数の十の位の２倍の一の位に等しいと分かります。
　　ｘ１
×　ｘ１
－－－－
　　ｘ１
　略ｘ

代わりの方法を提案します:
元の問題は、10x＋y＝(10x＋y)^2 （mod 100）と書けます。これに、y = 0, 1, 5, 6 を代入して、
　10x＋0＝(10x＋0)^2　(mod 100)
　10x＋1＝(10x＋1)^2　(mod 100)
　10x＋5＝(10x＋5)^2　(mod 100)
　10x＋6＝(10x＋6)^2　(mod 100)
が得られます。これらは簡単に解けるような気がします。

No.1 ベストアンサー 回答者： jmh 回答日時： 2005/03/04 08:31

> y=1のとき(y＾2)=1

> y=5のとき(y＾2)=25
> y=6のとき(y＾2)=36
y=0のとき(y^2)=0です。

下２桁が等しいならば、下１桁が等しい。従って、y = 0, 1, 5, 6 が必要（条件）。

ここまでは、ＯＫですか？

この回答への補足

はい。下1桁が同じということろは大丈夫です。

でも
100(x＾2)＋10*2xyは使用しないのですか？
それが少し気になっていて
すぐに
y＾2しか使用しないのかな？と思って

補足日時：2005/03/05 08:24