集合と位相

任意の集合をX、Xの冪集合をP(X)とする。P(X)の任意の要素Aに対しψ:P(X)→{0,1}^X;A⟼fAが全射であることを示していただきたいです。fAは特徴関数です。

質問者からの補足コメント

• ψ(A)＝fとなる理由が何度考えても分かりません。教えて頂きたいです。お手数お掛けして申し訳ありません。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2021/08/06 00:30

No.2 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/08/06 19:14

任意の集合をX、Xの冪集合(部分集合の集合)をP(X)={A|A⊂X}とする

ψ:P(X)→{0,1}^X

A∈P(X),A⊂X
に対して

ψ(A)=fA∈{0,1}^X
を
x∈Aの時　fA(x)=1
x∈X-Aの時　fA(x)=0
と
定める(これをAの特性関数という)

f∈{0,1}^X
に対して
A={x∈X|f(x)=1}
とすると

x∈Aの時
x∈A={x∈X|f(x)=1}
だから
f(x)=1=fA(x)

x∈X-Aの時
x∈X-A=X-{x∈X|f(x)=1}
だから
f(x)≠1
f∈{0,1}^X
だから
f(x)=0=fA(x)
∴
ψ(A)=fA=f
∴
ψ(A)=f

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/08/05 19:11

集合 A,B に対して A^B の定義は、B→A の全ての写像がなす集合です。

ψ：P(X)→{0,1}^X が全射か？ というのは、X→{0,1} の任意の写像が
ある P(X) の元 A の特性関数でありえるか？ という意味です。

与えられた f：X→{0,1} に対して A = { x∈X | f(x)=1 } と置けば
ψ(A) = f となっていますから、ψ は全射と言ってよいです。