No.6ベストアンサー
- 回答日時:
周期関数の定義は、任意のxに対してsin(x+a)²=sinx²となる様な、定まったaが存在する、と言う事です。
aは「周期」と言いますね。
では、早速
sin(x+a)²=sinx²なので、sin(x+a)²-sinx²=0です。
これを、和積の公式に当てはめて変形すると、
2sin((x+a)²-x²)/2)cos((x+a)²+x²)/2)=0
任意のxに対して、これを成立される様な定まったaは存在しません。
だから、周期関数では有りません。
----------------------------------------------------------
sin((x+a)²-x²)=0、又は、cos((x+a)²+x²)なのですが、
sin((x+a)²-x²)=0ならば、(x+a)²-x²=nπ(n×パイ)
a=±√(nπ+x²)-x
となり、xに依存するから、aは定まらない。
cos((x+a)²+x²)=0も同様にxに依存するから、aは定まらない。
No.8
- 回答日時:
あれ? 午前中に回答したはずだけど
操作ミスで投稿されなかったかな?
それとも、回答が削除されたか...
最近、質問削除で同じ質問を再投稿とか
おかしなことが横行してるから、そのひとつか...
sin(x^2) が周期 T を持つとすると、
任意の x に対して sin( (x+T)^2 ) = sin( x^2 ). ←[1]
両辺を x で微分すると、 2(x+T) cos( (x+T)^2 ) = 2x cos( x^2 ). ←[2]
両辺で ([1] ・ 2x)^2 + [2]^2 を行うと、
4x^2 + 4(2Tx + T^2) cos( (x+T)^2 )^2 = 4x^2 より
4T(2x + T) cos( (x+T)^2 )^2 = 0 が任意の x に対して成り立つが、
(2x + T) cos( (x+T)^2 )^2 は定数関数ではないので
成り立つのは T = 0 の場合のみ。 T = 0 では周期ではない。
ご回答ありがとうございます。両辺を微分する証明も苦手なので、参考にしたいです。あと、同じ質問の再投稿はしていませんので、なんで消えたかはわかりません。
No.7
- 回答日時:
あるT≠0が存在して
すべてのxに対して
f(x)=f(x+T)
となる時に
f(x)を周期Tの周期関数というのです
f(x)=sin(x^2)
とする
f(x)を周期Tの周期関数と仮定すると
f(x+T)-f(x)=0
=sin((x+T)^2)-sin(x^2)=0
=sin(x^2+2xT+T^2)-sin(x^2)=0
=sin(xT+T^2/2)cos(x^2+xT+T^2/2)=0
x=0の時
sin(T^2/2)cos(T^2/2)=0
だから
T^2=nπ>0
となる自然数nがある
sin(xT+nπ/2)cos(x^2+xT+nπ/2)=0
x=(π/4)/Tの時
x^2=π^2/(16T^2)=π/(16n)
sin(π/4+nπ/2)cos(π/(16n)+π/4+nπ/2)=0
sin((2n+1)π/4)cos((1+4n+8n^2)π/(16n))=0
(2n+1)π/4=mπ
となる整数mがあると仮定すると
(2n+1)π=4mπ
2n+1=4m
左辺奇数右辺偶数となって矛盾するから
(2n+1)π/4=mπとなる整数mは存在しない
sin((2n+1)π/4)≠0
(1+4n+8n^2)π/(16n)=(4m±1)π/2
となる整数mがあるとすると
1+4n+8n^2=8n(4m±1)
左辺奇数右辺偶数となって矛盾するから
(1+4n+8n^2)π/(16n)=(4m±1)π/2
となる整数mは存在しない
cos((1+4n+8n^2)π/(16n))≠0
∴
sin((2n+1)π/4)cos((1+4n+8n^2)π/(16n))≠0
だから
sin((2n+1)π/4)cos((1+4n+8n^2)π/(16n))=0
に矛盾するから
f(x)は周期関数ではない
ご回答ありがとうございます。ちゃんと数式でも証明できるのですね。整数問題っぽくなるのがおもしろいです。偶数とか奇数とかを使って証明していくのは苦手なので、こんなふうにできるようにもっと勉強します。
No.5
- 回答日時:
>sin(x^2)の場合に、sin(x-nT)と書くことが「不可能」と
>言い切れる根拠はなんですか?
グラフを描いてみれば一目瞭然ですが、グラフを横に水平移動して
元のグラフにきれいに重ねることが不可能だからです。
右に行くほど振動周期が短くなるので・・・
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