アフィン座標系とベクトルが長さを保つための必要十分条件

岩波基礎数学選書『線形空間 アフィン幾何』伊原・河田 著 18p のアフィン座標系に関する以下の説明について質問があります。

上掲書18p以下 (適宜要約しています）　--------------------------------------------------------------

3次元ベクトル空間をV3、３次元列ベクトル全体の集合をR3とする。

V3 から3個のベクトル a1,a2,a3 を取り出す。ただし、このa1～a3のベクトルは、単位ベクトルとは限らないし、たがいに直交するとも仮定しない。
それでも 写像 ψ:V3 ∋ x ＝　ξ1a1+ξ2a2+ξ3a3 → (ξ1,ξ2,ξ3) ∈ R3 は同型写像になっている。すなわち全単射(z∈R3 に対して z= ψ(x) となるx∈V3 が一意的に定まる)であり、演算を保っている。
つまり、ψ(x+y)=ψ(x)+ψ(y), ψ(λx)=λψ(x)

この同型写像ψは、ベクトルの長さを保つとは限らない。もし||ψ(x)|| = ||x|| が任意のx ∈V3 に対して成立するものとすれば、任意のx,y∈V3 に対して<ψ(x+y),ψ(x+ｙ)>=<x+y,x+y> （注 < , > は内積を表す記号) であることから、<ψ(x),ψ(y)>=<x,y> でなければならないことが容易にわかる。したがって、とくに<ψ(ai),ψ(aj)>=<ai,aj> (1<= i,j <=3)でなければならない。

ところが、ψ(a1)=(1,0,0), ψ(a2)=(0,1,0), ψ(a3)=(0,0,1) であるから、結局<ai,aj>=0(i≠j), =1(i=j) したがってψがベクトルの長さを保つためには(a1,a2,a3)が正規直交底であることが必要十分条件なのである。

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で、質問なのですが、上記要約文の下から３行目、

>>ところが、ψ(a1)=(1,0,0), ψ(a2)=(0,1,0), ψ(a3)=(0,0,1) であるから、 ...

の箇所なのですが、a1～a3 は初めに、単位ベクトルと仮定せず、直交するとも仮定していないのに、なぜ、いきなり、ψ(a1)=(1,0,0), ψ(a2)=(0,1,0), ψ(a3)=(0,0,1) 　とおけるのですか？

No.1 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/09/25 17:25

ψ(x): x ＝　ξ₁a₁+ξ₂a₂+ξ₃a₃ → (ξ₁,ξ₂,ξ₃)

で
x=a₁ ならどう変換される？

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。というか長ったらしい質問ですみません。

＞＞x=a₁ ならどう変換される？　

x ＝　ξ₁a₁+ξ₂a₂+ξ₃a₃の左辺x にa1 を代入すると
a1=ξ₁a₁+ξ₂a₂+ξ₃a₃ の等式を得ます。
で、この等式を満たすξi を考えると、ξ2,ξ３=0, また、ξ1＝１　。
すなわち、a1 = 1・a1 + 0・a2 + 0・a3 を得るはず。

したがって ψ(a1) →　(1 ,0,0 ) と変換されます。

あ...

お礼日時：2021/09/25 18:00