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微分を習っている中で、以下の様な変数分離の手法を学びました

f' = dy/dx = g(x)h(y) - (1)
→1/h(y)・dy = g(x)dx - (2)
→∫1/h(y)・dy = ∫g(x)dx - (3)

(3)でなぜ急にインテグラル(∫)を勝手につけることができるのでしょうか?

A 回答 (2件)

こう考えてはどうでしょう。


(2) 式の意味を考えてみます。

まず左辺を考えましょう。

積分と言う操作が『面積』を計算するもの、という説明を思い出してください。

yの関数 1/h(y) と言うものがあり、この関数値はyがある値の時、その関数のグラフのyの位置での『高さ』ですね。
それと微小区間 [ y, y+dy ] の幅が dy です。
つまり、左辺は、1/h(y) という関数の、あるyの位置での微小区間の面積
をあらわしていると言えます。

同じようにみると、右辺も、関数 g(x) の、あるxの位置での微小区間の面積をあらわしていると言えます。

つまり、(2) は、yという変数を使った関数hのあるyの点での微小区間の面積と、xという変数を使った関数gのあるxの点での微小区間の面積が等しい、という事をあらわしている、と解釈できます。

この関係は任意のxとyについて成り立ちます。
( もちろん 1/h(y) と g(x) が定義できる領域でです )
そこで、連続したxとyをとり、その区間で dx と dy の区間を次々に隣に動かしていきます。
すると、そのひとつひとつについて(2)がなりたつので面積は等しくなります。

そこに数学で言う加法定理を適用します。
加法定理とは、ひとつひとつが等しいものを、加えたものもまた等しいというものです。
当たり前だから説明の必要はないと思います。

つまり、左辺と右辺それぞれで次々に連なる微小区間の和は等しい、となるわけです。

『次々に連なる微小区間の和』って積分じゃぁないですか。
だからそれをインテグラルを使ってあらわした、というわけです。

加法定理を使うというのが説明上のミソです。
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まず安全に処理するなら (1) から


両辺を h(y) で割って x で積分, 左辺は置換積分する
ことで (3) を導ける. これを, 「形式的に」操作したのがこの (1)~(3) の処理, といってもいいのかな.

あるいは「同じもの」に対して「同じこと」をしたら「同じ結果」になるよ, とか.

むしろ (2) のところは気にならなかったのかな?
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