三角関数の極限について この問題は最初∞-∞の不定形となっていますが、どうしてそれを0としてはいけな

三角関数の極限について
この問題は最初∞-∞の不定形となっていますが、どうしてそれを0としてはいけないのですか？
また、∞/∞の時も1ではいけない理由を教えて下さい。

質問者からの補足コメント

• 画像は「受験の月　数列の極限②:無理式の極限」より引用させていただきました。

    補足日時：2021/10/16 08:55

No.5 ベストアンサー 回答者： windwald 回答日時： 2021/10/16 14:19

例を一つ考えれば明らかです。

∞-∞ の形になる lim x→∞ (3x-2x) はどうですか？
x→∞では 3x も 2x も無限大に発散しますがこれを ∞-∞＝0 とできますか？
絶対ダメでしょう？
∞/∞ の形になる lim x→∞ (3x／2x) でも同様です。

No.4 回答者： kairou 回答日時： 2021/10/16 14:11

「∞」＝「大きな数値」と考えるから、おかしな 疑問が生まれます。

「∞」は 概念であって、特定の数ではありません。
従って ∞-∞ は 決まった数には成りません。
∞/∞ も 特定の数ではないので、約分は出来ません。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/10/16 11:48

>最初∞-∞の不定形となっていますが、

>どうしてそれを0としてはいけないのですか？

0にならないから
n-√(n²+2n)は

n=10のとき ≒-0.95
n=100のとき≒-0.995
n=1000のとき ≒-0.9995

と、0になりそうにない。
nが大きければ
√(n²+2n)=n√(1+2/n)≒n+1
だから当然なんだけど
∞-∞=0なんて大雑把の極みだよね(^-^;

>∞/∞の時も1ではいけない理由を教えて下さい

例えば

lim[n→∞]2n/n=2 で1じゃない。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/10/16 10:31

lim_{n→∞}n=∞

lim_{n→∞}(n+1)=∞
だから
lim_{n→∞}{n-(n+1)}=∞-∞の不定形となるけれども
lim_{n→∞}{n-(n+1)}=-1
となって0にならないから0としてはいけません

lim_{n→∞}n=∞
lim_{n→∞}(2n)=∞
だから
lim_{n→∞}(2n/n)=∞/∞の不定形となるけれども
lim_{n→∞}(2n/n)=2
となって1にならないから1としてはいけません

No.1 回答者： mabuterol 回答日時： 2021/10/16 09:47

記号で∞と書かれていても、そこには大小が存在するからです。

3 > 2
3^2 > 2^2
3^3 > 2^3
3^n > 2^n
ここで n を無限大に発散させたら ∞ = lim 3^n > lim 2^n = ∞