√3:2=3:4であってるんですか?

A 回答 (6件)

間違っているのは既に他の方がおっしゃってるとおりです。



相似である図形があって、その相似比が√3:2ならば、
その面積比は3:4ですけどね。

相似比がa:bのとき面積比はa^2:b^2ですからね。
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√3:2 の前項と後項を両方2乗しちゃおうというのですか?


既に答が出ていますが,まちがっています.

質問のようなことをしていいんだったら,
1:2=1:4
になっちゃいますよ.
何度も繰り返せば,1:16も1:256も同じ?
そりゃおかしいでしょう.
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ちなみに、


a:b=c:d (a,b,c,d>0)
であれば
a^2:b^2=c^2:d^2
は言えます。
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間違っています。


√3=1.732…ですので、√3:2=1.732…:2になります。
したがって、4にあわせると
√3:2 = 2.464…:4
となります。
比の簡単な確認は
●:▲=○:△
これを
●×△=▲×○として両辺が正しければ比として成り立っています。
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間違ってます。


3:4=1.5:2なので、√3≠1.5です。
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間違ってます。


√3:2=2√3:4 (両辺を×2)です。または、
√3:2=3:2√3 (両辺を×√3)です。
両辺を2乗してはいけません。
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Aベストアンサー

#1さんの解答はうますぎて自分にはとても・・・と思う場合には次をどうぞ(ヒントだけ)。

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√2+√3 = ・・・
と書けます。
これから
√2 = ・・・
両辺を・・・して
・・・
以下略。

Q{√(1)+√(1+2)+√(1+2+3)+…+√(1+2+…+n)}/n^2 → √2/4

n → ∞のとき、
{√(1)+√(1+2)+√(1+2+3)+…+√(1+2+…+n)}/n^2 → √2/4

また、n → ∞のとき、
{√(1+2+…+n)+√(2+3+…+n)+…+√(n-1+n)+√(n)}/n^2 → π√2/8

らしいのですが、証明がかいてありませんでした。
どうか証明を教えていただけないでしょうか。

Aベストアンサー

#3、#5です。

>=lim[n→∞] (1/√2)(1/n)[Σ[k=1,n]{k/n} - 1/n + (n+1)/n]
>=lim[n→∞] (1/√2)(1/n)Σ[k=1,n]{k/n}

1/nが消えるのはわかるのですが、n/n(=1)が消えるのはなぜでしょう?


>でもそのはさみこむ方法は、後半ではうまくいきにくいし、…

後半もうまくいきましたので、以下に説明します。
n=7の場合のグラフを添付します。
区分求積法により、{√(1+2+…+n)+√(2+3+…+n)+…+√(n-1+n)+√(n)}/n^2 は幅(1/n),高さ{√{(k+1)+(k+2)+…+n}}/nの階段状の図形の面積になります。k=0~n-1です。
下限関数 f(x)=√{(1-x^2)/2}
上限関数 g(x,Δ)=√[{(1+Δ)^2-x^2}/2] (但しΔ=1/n)
階段関数 {√{(k+1)+(k+2)+…+n}}/n=√[{n(n+1)-k(k+1)}/(2n^2)]

(1)x=k/nのところで、階段の高い方より上限関数 g(x,Δ)が大きい事を示します。但しk=1~nです。
x=k/nの階段の高い方は√[{n(n+1)-(k-1)k}/(2n^2)]です。
x=k/nの上限関数 g(x,Δ)=g(k/n,1/n)=√[{(1+(1/n))^2-(k/n)^2}/2]=√[{(n+1)^2-k^2}/(2n^2)]
(上限関数) ≧ (階段関数の高い方) を示すには、ルートと分母の(2n^2)が共通なので、
(n+1)^2-k^2 ≧ n(n+1)-(k-1)k を示せば十分です。
{(n+1)^2-k^2}-{n(n+1)-(k-1)k}=n-k+1≧0 より明らかです。

(2)x=k/nのところで、階段の低い方より下限関数 f(x)が小さい事を示します。但しk=0~nです。
x=k/nの階段の低い方は√[{n(n+1)-k(k+1)}/(2n^2)]です。
x=k/nの下限関数 f(x)=f(k/n)=√[{(1-(k/n)^2}/2]=√[(n^2-k^2)/(2n^2)]
(階段関数の低い方) ≧ (下限関数) を示すには、ルートと分母の(2n^2)が共通なので、
n(n+1)-k(k+1) ≧ n^2-k^2 を示せば十分です。
{n(n+1)-k(k+1)}-(n^2-k^2)=n-k≧0 より明らかです。

以上の事から階段関数は下限関数 f(x)と上限関数 g(x,Δ)の間に入る事がわかりました。
下限関数の面積をF,上限関数の面積をG(n),階段関数の面積をA(n)とすると、
F ≦ A(n) ≦ G(n) となります。
F=∫[0→1]f(x)dx=(1/√2)(単位円の面積÷4)=π(√2)/8
G(n)=∫[0→(1+Δ)]g(x,Δ)dx=(1/√2)(半径(1+Δ)の円の面積÷4)={π(√2)(1+Δ)^2}/8 (但し Δ=1/n)
つまり階段関数の面積はπ(√2)/8以上{π(√2)(1+1/n)^2}/8以下になります。
n→∞で階段関数の面積はπ(√2)/8に収束します。

#3、#5です。

>=lim[n→∞] (1/√2)(1/n)[Σ[k=1,n]{k/n} - 1/n + (n+1)/n]
>=lim[n→∞] (1/√2)(1/n)Σ[k=1,n]{k/n}

1/nが消えるのはわかるのですが、n/n(=1)が消えるのはなぜでしょう?


>でもそのはさみこむ方法は、後半ではうまくいきにくいし、…

後半もうまくいきましたので、以下に説明します。
n=7の場合のグラフを添付します。
区分求積法により、{√(1+2+…+n)+√(2+3+…+n)+…+√(n-1+n)+√(n)}/n^2 は幅(1/n),高さ{√{(k+1)+(k+2)+…+n}}/nの階段状の図形の面積になります。k=0~n-1です。
下限関...続きを読む

Q√2、√3は無理数であるとことを使って、√2+√3も無理数であることを

√2、√3は無理数であるとことを使って、√2+√3も無理数であることを背理法を用いて証明せよ。

どうしても解けません。
宜しければお力を貸してください。

Aベストアンサー

前のお二方が書いておられるように、
√2 + √3 が有理数だと仮定すると
√6 = ((√2 + √3)~2 - 5)/2 も有理数
ということになってしまうことから、
背理法で示すことができます。

では、√6 が無理数であることは
どうやれば示せるかというと…
「√2, √3 が無理数であることを使って」
示すことは、できません。

√2 や √3 が無理数であることを示すのと
同様の手法で証明することになるでしょう。

√6 が有理数だとすれば、
互いに素な自然数 p, q によって
√6 = p/q と表すことができる。
式を変形して、6qq = pp。
左辺が 2 で割りきれることから、
右辺も 2 で割りきれなくてはならず、
p は 2 で割りきれる。
よって、右辺が 4 で割りきれることから、
左辺も 4 で割りきれなくてはならず、
q も 2 で割りきれる。
これは、p, q が互いに素であることに矛盾する。
したがって、背理法により、√6 は無理数。


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