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可換環において、二項定理は常に成り立ちますか?

教えて!goo グレード

A 回答 (2件)

成り立ちますよ。



二項定理は (a+b)^n = Σ[k=0..n] (nCk){ a^k }{ b^(n-k) } ですね。

n = 0 のとき、
 (a+b)^0 = 1,
 Σ[k=0..n] (nCk){ a^k }{ b^(n-k) } = (nC0){ a^0 }{ b^0 } = 1
で成立。

n = m のとき成立すると仮定すると
 (a+b)^m = Σ[k=0..m] (mCk){ a^k }{ b^(m-k) }.
これを使って、
(a+b)^(m+1)
= (a+b) Σ[k=0..m] (mCk){ a^k }{ b^(m-k) }
= Σ[k=0..m] (mCk){ a^(k+1) }{ b^(m-k) } + Σ[k=0..m] (mCk){ a^k }{ b^(m-k+1) }
= Σ[j=1..m] (mC(j-1)){ a^j }{ b^(m+1-j) } + (mCm){ a^(m+1) }{ b^0 }
 + Σ[k=1..m] (mCk){ a^k }{ b^(m+1-k) } + (mC0){ a^0 }{ b^(m+1) }
= { a^0 }{ b^(m+1) } + Σ[k=1..m] { (mC(k-1)) + (mCk) }{ a^k }{ b^(m+1-k) } + { a^(m+1) }{ b^0 }
= { a^0 }{ b^(m+1) } + Σ[k=1..m] ((m+1)Ck){ a^j }{ b^(m+1-k) } + { a^(m+1) }{ b^0 }
= Σ[k=0..m+1] ((m+1)Ck){ a^j }{ b^(m+1-k) }.
となり、 n = m+1 のときも成立。

よって数学的帰納法により、任意の非負整数 n について二項定理は成立。

証明の過程で、可換環における演算規則しか使っていないので、
a, b を実数や複素数に限定する必要はなく、任意の可換環で成り立ちます。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時:2021/10/30 17:21

(a+b)^2


=(a+b)(a+b)
↓分配法則から
=a(a+b)+b(a+b)
↓分配法則から
=aa+ab+ba+bb
↓交換法則から
=aa+ab+ab+bb
↓ab+ab=2abだから
=a^2+2ab+b^2

成り立つ
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