線形写像

cf(x) と (cf)(x) の、違いをおしえてください

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/11/12 13:59

f(x) の値を各 x について c 倍したものが cf(x)。

値の c 倍を表す。
関数空間上で関数の c 倍を定義し、cf に x を代入したものが (cf)(x)。
関数の c 倍を表す。 本来全く異なるふたつの「c 倍」についての話だが、
関数の c 倍は各点での値の c 倍を用いて
∀x, (cf)(x) = cf(x) で定義する場面が多いから、
その場合、結果的には同じ値になってしまう。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2021/11/12 18:25

No.2 回答者： とぅとぅ 回答日時： 2021/11/12 12:48

線型写像ならば、

cf(x)とf(cx)でなくてですか？？

この回答へのお礼

c ∈ R に対し, 写像
cf : V → W
を
(cf )(x) = cf (x) (x ∈ V)
で定める

とかいてありました。

お礼日時：2021/11/12 13:07

No.1 回答者： 2bun 回答日時： 2021/11/12 08:02

分割 ∆ : a = x0 < · · · < xn = b と ξ = (ξ1, . . . , ξn), ξi ∈ [xi−1, xi

] に対する f と cf の
リーマン和を, それぞれ
S
(f)
∆,ξ =
∑n
i=1
f(ξi)(xi − xi−1),
S
(cf)
∆,ξ =
∑n
i=1
cf(ξi)(xi − xi−1)
と表すと. S
(cf)
∆,ξ = cS(f)
∆,ξ である。
c = 0 のときは, 任意の分割に対して S
(cf)
∆,ξ = 0 であるから, lim
|∆|→0
S
(cf)
∆,ξ = 0 となり, cf
は可積分で,
∫ b
a
cf(x)dx = 0 = c ×
∫ b
a
f(x)dx
c ̸= 0 のとき, f は閉区間 [a, b] で可積分であるから, 任意の ε に対して δ > 0 が存在し
て, |∆| < δ ならば




S
(f)
∆,ξ −
∫ b
a
f(x)dx




<
ε
|c|
を満たす. このとき




S
(cf)
∆,ξ − c
∫ b
a
f(x)dx



= |c|




S
(f)
∆,ξ −
∫ b
a
f(x)dx




< |c| × ε
|c|
= ε
であるから, cf も可積分で,
∫ b
a
cf(x)dx = c
∫ b
a
f(x)dx

この回答へのお礼

あんまりわかりません。
ごめんなさい。

お礼日時：2021/11/12 08:47