![](http://oshiete.xgoo.jp/images/v2/pc/qa/question_title.png?5a7ff87)
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
直方体の
縦長x横長y高さz体積a
xyz=a>0
とする
z=a/(xy)…(0)
表面積/2をf(x,y)とする
f(x,y)=xy+yz+zx
f(x,y)=xy+a/x+a/y
f(x,y)が(x,y)で極値をとるとする
f_x=y-a/x^2=0…(1)
f_y=x-a/y^2=0…(2)
(1)の両辺にa/x^2を加えると
y=a/x^2
↓両辺にx^2をかけると
yx^2=a…(3)
(2)の両辺にa/y^2を加えると
x=a/y^2
↓両辺にx^2をかけると
xy^2=a
↓これと(3)から
yx^2=xy^2
↓両辺に-xy^2を加えると
yx^2-xy^2=0
xy(x-y)=0
↓xy>0だから
x-y=0
↓両辺にyを加えると
x=y…(4)
↓これを(3)に代入すると
x^3=a
↓両辺を1/3乗すると
x=a^(1/3)…(5)
↓これを(4)に代入すると
y=a^(1/3)…(6)
↓これを(0)に代入すると
z=a/a^(2/3)=a^(1/3)
↓これと(5),(6)から
x=y=z=a^(1/3)
f_xx=2a/x^3=2
f_xy=1
f_yy=2a/y^3=2
f_xxf_yy-(f_xy)^2=2*2-1=3>0
f_xx=2>0だから
x=y=z=a^(1/3)で
f(x,y)は極小値3a^(2/3)をとるから
∴
体積が一定である直方体のうちで、表面積の最小なものは
立方体である
No.4
- 回答日時:
ラグランジュの未定乗数法を使うと
対称性を崩さずに偏微分で美しく解けます。
V = abc = C として、拘束条件 G(a, b, c) = abc-C=0
S = 2(ab+bc+ca)
ラグランジュの未定乗数法で、未定乗数を持つ 関数 h を
h(a, b, c, λ) = S + λG として
これを4変数の拘束条件の無い極小・極大問題として
解けば解けます。
∂h/∂a = 2(b+c) + λ(bc) = 0 ①
∂h/∂b = 2(c+a) + λ(ca) = 0 ②
∂h/∂c = 2(a+b) + λ(ab) = 0 ③
ラムダを消去すると
①×a - ②×b = c(a-b) = 0 ④
①×a - ③×c = b(a-c) = 0 ⑤
②×b - ③×c = a(b-c) = 0 ⑥
体積が有るなら a>0, b > 0, c > 0 なので
④、⑤、⑥ から a = b = c
これが停留点で立方体です。
停留点が一か所の場合、他がこれより
大きいことを1点だけ示せば極小と判定できます。
cを薄くすれば ab はいくらでも大きくできるので
停留点は極小。
No.3
- 回答日時:
相加相乗平均の関係を使えば
中学生で解けるけど。
x, y, z > 0,
xyz = V (Vは定数) の条件下に
S = 2xy + 2yz + 2zx の最小値を求めよ。
相加相乗平均の関係から、
(xy + yz + zx)/3 ≧ ³√((xy)(yz)(zx)) = ³√V² (等号成立は x = y = z のとき).
よって、
S = 6(xy + yz + zx)/3 ≧ 6(³√V²).
等号成立は、xyz = V かつ x = y = z のときだから、
x = y = z = ³√V のとき。 これは直方体が立方体のときである。
No.1
- 回答日時:
直方体の各辺の長さをx,y,z (どれも正)、体積をVとすると、zはV,x,yで表せる。
そしてVは「一定」すなわち定数。というわけで、表面積SをV, x, yで表して∂S/∂x = ∂S/∂y = 0
を満たすx,y(停留点)を計算しろ、ってことです。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 多様体について質問です。 Rを実数全体としてf:S^n={(p_1,…,p_(n+1)∈R^(n+1 2 2023/06/24 00:54
- 数学 微分積分の円錐の体積についての問題がわからないです。 2 2022/07/16 16:26
- 物理学 大学物理に詳しい方に質問です。 ラザフォードたちが実験で知りたかったことは衝突パラメータbと原子核の 1 2023/03/16 03:39
- 数学 条件付き極値問題といわれる問題です。ラグランジュの乗数法 について、質問したいことがあります。 条件 3 2023/05/15 21:38
- 数学 【 数I 2次関数 最大・最小 】 問題:関数y=x²+2x+c (-2≦x≦2)の最大値 が5であ 3 2022/06/19 08:41
- 物理学 参考書に圧力-体積仕事の公式として W=-P外部×ΔVが紹介されていました。 そして、この公式を使っ 2 2023/01/25 21:25
- 化学 高校化学 浸透圧の範囲で質問があります。「浸透圧が同じなら移動する水の量は同じ」ですか? 「京大化学 4 2022/06/19 14:11
- 数学 和が一定であるときの積の最小値 たとえば、 a≧1,b≧1,c≧1 で a+b+c=4 のとき、積 8 2022/04/09 14:59
- 数学 数学 3次関数の最小値・最大値を求める際 その関数を微分した二次関数を平方完成し最小値を求めるやり方 3 2023/05/02 01:13
- 数学 三角関数の極限を「はさみうちの原理」で考える時の不等号について 1 2022/07/22 01:13
このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています
このQ&Aを見た人がよく見るQ&A
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
xが分子の足し算、どうやるんで...
-
3のn-1乗はどうやって解けばよ...
-
2のX乗+2の−X乗の解き方がわ...
-
指数方程式についてです。 2^x+...
-
両辺から自然対数をとった時
-
-0.1と-0.01ってどっちが大き...
-
なぜ両辺が負の時に両辺を二乗...
-
2乗しても同値性が崩れないと...
-
平方根を取る とはどういう...
-
一次不定方程式(ユークリッド...
-
√3が無理数であることを既知と...
-
畳み込み積分の交換律の証明
-
√(-1)=±iですか?iは虚数単位...
-
絶対値を二つ含む不等式
-
なぜ二次方程式は両辺を文字で...
-
答えが2になる複雑な数式を探...
-
a1=1 , an+1 = √1+an (n=1...
-
複素数の問題で質問があります
-
両辺が正のとき,両辺を平方でき...
-
X/3.5=X/7.5+20 のxを求める...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
xが分子の足し算、どうやるんで...
-
3のn-1乗はどうやって解けばよ...
-
なぜ両辺が負の時に両辺を二乗...
-
2のX乗+2の−X乗の解き方がわ...
-
答えが2になる複雑な数式を探...
-
a1=1 , an+1 = √1+an (n=1...
-
平方根を取る とはどういう...
-
指数方程式についてです。 2^x+...
-
-0.1と-0.01ってどっちが大き...
-
1/3で場合分けは?
-
54mm×86mmは何対何ですか?
-
X/3.5=X/7.5+20 のxを求める...
-
不等式について
-
2乗しても同値性が崩れないと...
-
一次不定方程式(ユークリッド...
-
xのa乗をx=の形にしたい
-
両辺から自然対数をとった時
-
整数係数とは?
-
数学ではよく、両辺を2乗します...
-
絶対値を二つ含む不等式
おすすめ情報