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「偏導関数の応用」の「極値と最大・最小」の問題です。
体積が一定である直方体のうちで、表面積の最小なものを求めよ。

解説していただけると幸いです。

教えて!goo グレード

A 回答 (4件)

直方体の


縦長x横長y高さz体積a
xyz=a>0
とする
z=a/(xy)…(0)
表面積/2をf(x,y)とする
f(x,y)=xy+yz+zx
f(x,y)=xy+a/x+a/y
f(x,y)が(x,y)で極値をとるとする
f_x=y-a/x^2=0…(1)
f_y=x-a/y^2=0…(2)
(1)の両辺にa/x^2を加えると
y=a/x^2
↓両辺にx^2をかけると
yx^2=a…(3)
(2)の両辺にa/y^2を加えると
x=a/y^2
↓両辺にx^2をかけると
xy^2=a
↓これと(3)から
yx^2=xy^2
↓両辺に-xy^2を加えると
yx^2-xy^2=0
xy(x-y)=0
↓xy>0だから
x-y=0
↓両辺にyを加えると
x=y…(4)
↓これを(3)に代入すると
x^3=a
↓両辺を1/3乗すると
x=a^(1/3)…(5)
↓これを(4)に代入すると
y=a^(1/3)…(6)
↓これを(0)に代入すると
z=a/a^(2/3)=a^(1/3)
↓これと(5),(6)から
x=y=z=a^(1/3)

f_xx=2a/x^3=2
f_xy=1
f_yy=2a/y^3=2
f_xxf_yy-(f_xy)^2=2*2-1=3>0

f_xx=2>0だから
x=y=z=a^(1/3)で
f(x,y)は極小値3a^(2/3)をとるから

体積が一定である直方体のうちで、表面積の最小なものは
立方体である
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ラグランジュの未定乗数法を使うと


対称性を崩さずに偏微分で美しく解けます。

V = abc = C として、拘束条件 G(a, b, c) = abc-C=0
S = 2(ab+bc+ca)

ラグランジュの未定乗数法で、未定乗数を持つ 関数 h を
h(a, b, c, λ) = S + λG として

これを4変数の拘束条件の無い極小・極大問題として
解けば解けます。

∂h/∂a = 2(b+c) + λ(bc) = 0 ①
∂h/∂b = 2(c+a) + λ(ca) = 0 ②
∂h/∂c = 2(a+b) + λ(ab) = 0 ③

ラムダを消去すると
①×a - ②×b = c(a-b) = 0 ④
①×a - ③×c = b(a-c) = 0 ⑤
②×b - ③×c = a(b-c) = 0 ⑥

体積が有るなら a>0, b > 0, c > 0 なので
④、⑤、⑥ から a = b = c
これが停留点で立方体です。

停留点が一か所の場合、他がこれより
大きいことを1点だけ示せば極小と判定できます。

cを薄くすれば ab はいくらでも大きくできるので
停留点は極小。
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相加相乗平均の関係を使えば


中学生で解けるけど。

x, y, z > 0,
xyz = V (Vは定数) の条件下に
S = 2xy + 2yz + 2zx の最小値を求めよ。

相加相乗平均の関係から、
(xy + yz + zx)/3 ≧ ³√((xy)(yz)(zx)) = ³√V² (等号成立は x = y = z のとき).
よって、
S = 6(xy + yz + zx)/3 ≧ 6(³√V²).
等号成立は、xyz = V かつ x = y = z のときだから、
x = y = z = ³√V のとき。 これは直方体が立方体のときである。
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直方体の各辺の長さをx,y,z (どれも正)、体積をVとすると、zはV,x,yで表せる。

そしてVは「一定」すなわち定数。というわけで、表面積SをV, x, yで表して
  ∂S/∂x = ∂S/∂y = 0
を満たすx,y(停留点)を計算しろ、ってことです。
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