No.2ベストアンサー
- 回答日時:
> 空間図形の体積
それをVとすると、
V = ∫ dp (積分範囲はp∈A)
ただし
A = {(x,y,z) | x≧0 ∧ y≧0 ∧ x^2 + y^2 ≦ a^2 ∧ 0≦z≦xy}
ということです。さてこの先、どんな座標系を設定して、各成分をどの順番で積分するか、の選択は自由です。
そこでたとえば、素直に直交座標系を使って 点pをp=(x,y,z) とし、
V = ∫ (∫ (∫ dz) dy) dx (積分範囲は(x,y,z)∈A)
とやれば
V = ∫{0〜|a|} (∫ {0〜√(a^2-x^2)}( ∫{0〜xy} dz) dy) dx
= ∫{0~|a|} (∫ {0~√(a^2-x^2)} y dy) x dx
です。
また、点pを円筒座標(r,θ,z) (r≧0, 0≦θ≦2π)と表して
V = ∫ dp (積分範囲は (r cosθ, r sinθ, z)∈A)
と考えれば、
A={(r cosθ, r sinθ, z) | cosθ≧0 ∧ sinθ≧0 ∧ r^2 ≦ a^2 ∧ 0≦z≦(r^2)sin(2θ)/2 }
すなわち
A={(r cosθ, r sinθ, z) | π/2≧θ≧0 ∧ |a|≧r≧0 ∧ 0≦z≦(r^2)sin(2θ)/2}
というわけで
V = ∫{0〜π/2}(∫ {0〜|a|} (∫{0〜(r^2)sin(2θ)/2}dz) r dr) dθ
= ∫{0~π/2}(∫ {0~|a|} ((r^3)sin(2θ)/2) dr) dθ
= (1/2)(∫{0~π/2}sin(2θ) dθ) (∫ {0~|a|} (r^3) dr)
ともやれる。
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空間図形じゃなくて空間図形の体積でした‥ごめんなさい!!