数学の質問

画像にあります、(ρ^k-1)/k(ρ-1)が常に1より大きいと書いていますが、理由が分かりません。

どうやって証明するのですか？

ρとkはどちらも1より大きいとする。

教えて下さい、宜しくお願い致します。
※式の他の部分は気にしないでもらって大丈夫です。

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/01/24 00:45

A, B を正と仮定すると

A/B > 1 iff A > B.

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2022/01/24 00:39

No.2 です。

＞f(ρ) = (ρ^k - 1) - k(ρ - 1)というのはどこからきたのでしょうか？

分子と分母のどちらが大きいか調べるために、引いてみたもの。

分子 - 分母 >0 なら「分子の方が大きい」ので「１より大きい」ことになるでしょ？

この回答へのお礼

理解できました！
丁寧に回答していただきありがとうございました。

感謝しております！

お礼日時：2022/01/24 01:34

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2022/01/23 23:04

f(ρ) = (ρ^k - 1) - k(ρ - 1)

として、その 1<ρ における増減表を作ってみましょう。

f'(ρ) = kρ^(k - 1) - k = k[ρ^(k - 1) - 1]
であり、
1<ρ, 1<k であれば
　ρ^(k - 1) - 1 > 0
なので、1<ρ に対して
　f'(ρ) > 0
従って、f(ρ) は 1<ρ で単調増加。

かつ、
　f(1) = 0

以上より、1<ρ に対して
　0 < f(ρ) = (ρ^k - 1) - k(ρ - 1)
よって
　(ρ^k - 1) > k(ρx - 1) (>0)
→　(ρ^k - 1) / [k(ρ - 1)] > 1

この回答へのお礼

f(ρ) = (ρ^k - 1) - k(ρ - 1)というのはどこからきたのでしょうか？
f(ρ) = (ρ^k - 1) / k(ρ - 1)ではないのでしょうか？

すみませんが教えて下さい。
何卒宜しくお願い致します。

お礼日時：2022/01/24 00:33

No.1 回答者： lon_donburi_dge 回答日時： 2022/01/23 22:39

f(ρ)=(ρ^k-1)-k(ρ-1)として、ρ≧1のときf(ρ)≧0を示せれば良い。