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【 数A 条件つき確率 】
問題
 2つの箱A、Bがあり、箱Aの中には赤玉が4個、白玉が3個入っている。箱Aから2球を取り出し、色を確かめずに箱Bに入れた。
 (最初、箱Bは空っぽであったとして考えよ)
 箱Bから1球を取り出すとき、それが白球であったという条件のもとで箱Bの残りの1球が赤球である確率を求めよ。

私の解答
 ※写真

なぜ私の解答が間違えているのか、また正しい解法と解も教えて下さい。

A 回答 (6件)

> 赤赤には区別がないから並び替える必要もないので



私もこの考え方は駄目と考えます。

①仮に各玉に区別可能な印がついていても確率が変わるはずが有りません。ならば確実に計算出来る方を選ぶべき。
②区別しない事で計算を誤ってしまう有名な例は、コインを2枚投げる問題。

コインを区別すれば
表裏、裏表、表表、裏裏 の4通り
コインを区別しなければ
表裏、表表、裏裏の3通り。

でも表表の確率は1/4が正解。

コインが区別出来れば2つの独立事象の組み合わせとして
4つの場合分けが同じ確からしさを持つことを示すのは容易だが
コインを区別しない立場から3個の場合が同様の
確からしさを持たないことを説明するのは結構面倒。

でも、確からしさが明確に担保されないと
確率の計算は出来ないんだよね。
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ご質問者さんは、もう一つの投稿で、「条件付き確率」とは関係ない中学生的な回答をベストアンサーにしていましたが、条件付き確率とは何か、今学んでおかないと後で困りますよ。



中学生的でも分からなかったのが、分かっただけでも良いですけど・・・。

ありものがたりさんへの補足を見ていると、仕方ないかもしれませんが。
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> 赤赤には区別がないから並び替える必要もないので



並び替える必要もないけれど、
並び替えていけない理由もありません。
区別をなくす考え方は、適応できる条件や
計算の進め方がややこしい場合があり、
いろいろ間違いの元です。
外見上そっくりな球やコインでも
物体としては違うので、
区別する考えかたは常に可能です。
私は、これを、「最初に球にマジックで番号を書き込む」
と説明することが多いです。
常に区別して考えることは、
C にまつわるミスを無くす簡便な方針だと思っています。

今回の問題は、結果的に (4C2)/(7C2) でもよいのですが、
(4C2)/(7C2) = { (4P2)/(2P2) }/{ (7P2)/(2P2) } = (4P2)/(7P2)
であって、(4P2)/(7P2) でも同じことです。
「区別しないから C」という考えかたは
この 2P2 で約分できることをあらかじめ予見した計算方法で、
問題によっては計算を大幅に簡単にしてくれるのですが、
区別する場合と区別しない場合を混同することがある人は
常に区別する方法が安全だと思います。
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①Aから赤赤をとり出し、Bから白を取り出す確率


4P2/7P2×0/2=0
②Aから赤白を取り出し、Bから白を取り出す確率
4P1×3P1×2P2/7P2×1/2=24/42×1/2=2/7
③Aから白白を取り出し、Bから白を取り出す確率
3P2/7P2×2/2=1/7

④Bから白を取り出す確率=①+②+③= 3/7
⑤Bから白を取り出し、残りの球が赤である確率=②の確率=2/7
⑥Bから白を取り出した場合の残りが赤である条件付確率=⑤/④=2/3
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箱Bの中身は白赤であった、というケースの確率を求めることになります。


しかし、そのうち1個は白だった、という観測条件の下でどうか?と問われています。

ベイズの定理は学びましたか?

(事後確率)={(事象iの事前確率)×(条件付確率)}/(周辺確率)

※周辺確率は分子の総和です

問題文の「~箱Bに入れた」までが、事前確率を与えています。この操作の結果、箱Bの状態は3つの事象(白白,白赤,赤赤)が考えられます。
各事象の事前確率は以下のようになります。

P(白白)=3C2/7C2=1/7
P(白赤)=3C1・4C1/7C2=4/7
P(赤赤)=4C2/7C2=2/7

問題文の「~それが白球であった」までが、観測事実を与えています。
この観測が事象iの条件付きで発生します。つまり白観測の生起確率Pは、

P(白観測|白白)=1・・・箱の中が白白であれば、白球は100%観測可能
P(白観測|白赤)=1/2 ・・白赤であれば、1/2の確率で白が出ます
P(白観測|赤赤)=0・・・赤赤であれば、白球は観測されません

これらをベイズの定理の式に代入します。ごちゃごちゃするので表にまとめました。

事後確率が計算され、白赤のそれは、2/3であると計算されました。
「【 数A 条件つき確率 】 問題 2つの」の回答画像2
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箱Bが赤赤になる確率 (4P2)/(7P2) = 2/7,


箱Bが白白になる確率 (3P2)/(7P2) = 1/7,
箱Bが赤白になる確率 1 - 2/7 - 1/7 = 4/7.

箱Bが赤赤で、その中から白を取り出す確率 (2/7)・0 = 0,
箱Bが白白で、その中から白を取り出す確率 (1/7)・1 = 1/7,
箱Bが赤白で、その中から白を取り出す確率 (4/7)・(1/2) = 2/7.

箱Bから白を取り出したという条件下に
箱Bに残った球が赤である確率 (2/7) / { (1/7 + (2/7) } = 2/3.

「私の解答」は、写真が無いから
どこが間違ってるのか判る方法がない。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

一つ質問させてください。
箱Bが赤赤になる確率の計算などで
赤赤には区別がないから並び替える必要もないので、
(4C2)/(7C2)と計算すると思ったのですが、
CではなくPを使っている理由を教えて下さい。

お礼日時:2022/10/09 08:52

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