写真の(2)の問題では「P(X=4)=P(X≦4)-P(X≦3)」という式で求めていますが、 「P(

写真の(2)の問題では「P(X=4)=P(X≦4)-P(X≦3)」という式で求めていますが、
「P(X=4)=1-{P(X≧5)+P(X≦3)」
⇔1-{(2/6)+(3/6)}という式で考えたのですが、答えが写真と合いません。この式のどこが間違っているのか解説おねがいします。

質問者からの補足コメント

• 1-{(2/6)+(3/6)}→ 1-{(2/6)+(3/6)⁴}に訂正します。

    補足日時：2022/11/15 05:59

• 僕がP(X≧5)を2/6と考えた理由は、
  X≧5となるときは、4回のうち1回でも5か6の目が出れば残りの3回振って出る目はなんでも良いから、
  (3/6)×(6/6)×(6/6)×(6/6)=3/6と考えました。
  なぜ、この考えがダメか教えてほしいです

    補足日時：2022/11/15 06:43

No.9 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/11/17 21:01

補足の

X≧5となるときは、4回のうち1回でも5か6の目が出れば残りの3回振って出る目はなんでも良いから、
(3/6)×(6/6)×(6/6)×(6/6)=3/6
の
(3/6)はどういう意味なのでしょうか?
1回目に5か6が出る場合という意味ならば
(2/6)でなければなりません

(2/6)×(6/6)×(6/6)×(6/6)=2/6
だとしたら
これは
1回目に5か6が出る場合の確率になります
だから
この場合は
1回目に4以下が出て2回目に5か6が出る場合(X≧5になるのに)
を含まないから間違いです

No.8 回答者： tsuyoshi2004 回答日時： 2022/11/17 09:20

まずは、Ｐ（Ｘ≧５）を求めるには１－Ｐ（Ｘ≦４）で計算するほうが簡単なのですが、その場合

１－｛Ｐ（Ｘ≧５）＋Ｐ（Ｘ≦３）｝
＝１－Ｐ（Ｘ≧５）ーＰ（Ｘ≦３）
ここに
Ｐ（Ｘ≧５）＝１－Ｐ（Ｘ≦４）を代入すると
１－｛１－Ｐ（Ｘ≦４）｝－Ｐ（Ｘ≦３）
＝Ｐ（Ｘ≦４）ーＰ（Ｘ≦３）
となり、結局は解説と同じ式になります。

さて、ではＰ（Ｘ≧５）を余事象を使わずに求めるとどうなるでしょうか？
Ｐ（Ｘ≧５）となるのは、
４回ともに５以上の目が出た場合・・・（１／３）＾４
３回が５以上、１回が４以下の目の場合・・・４×（１／３）＾３×２／３
２回が５以上、２回が４以下の目の場合・・・６×（１／３）＾２×（２／３）＾２
１回が５以上、３回が４以下の目の場合・・・４×１／３×（２／３）＾３
なので、
Ｐ（Ｘ≧５）＝（１＋８＋２４＋３２）／３＾４＝６５／８１
です。
Ｐ（Ｘ≦３）＝（１／２）＾４＝１／１６なので、
Ｐ（Ｘ＝４）＝１－（６５／８１＋１／１６）
＝１－（１０４０＋８１）／１２９６
＝１７５／１２９６
ということです。

ところで、補足にある
「X≧5となるときは、4回のうち1回でも5か6の目が出れば残りの3回振って出る目はなんでも良いから、
(3/6)×(6/6)×(6/6)×(6/6)=3/6と考えました。
なぜ、この考えがダメか教えてほしいです」ですが、
※（３／６）ではなく（２／６）だとは思います。
仮に１個が４以下であっても残りの３個のうちの一つが５以上であれば最大値は５以上になります。
そのために、何個が５以上であったかで場合分けしなくてはいけないわけです。

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/11/15 19:31

P(X≧5)

=(4回ふって,出た目のうち最大のものが5以上である確率)
=(
1回目が5以上
または
1回目が4以下かつ2回目が5以上
または
1回目が4以下かつ2回目が4以下かつ3回目が5以上
または
1回目が4以下かつ2回目が4以下かつ3回目が4以下かつ4回目が5以上
である確率)
=
(1回目が5以上の確率)
+(1回目が4以下の確率)*(2回目が5以上の確率)
+(1回目が4以下の確率)*(2回目が4以下の確率)*(3回目が5以上の確率)
+(1回目が4以下の確率)*(2回目が4以下の確率)*(3回目が4以下の確率)*(4回目が5以上の確率)
=
(2/6)
+(4/6)*(2/6)
+(4/6)*(4/6)*(2/6)
+(4/6)*(4/6)*(4/6)*(2/6)
=
(2/6)+(4/6)*(2/6)+(4/6)^2*(2/6)+(4/6)^3*(2/6)
だから
P(X≧5)=2/6は間違い

P(X≧5)=(2/6)+(4/6)*(2/6)+(4/6)^2*(2/6)+(4/6)^3*(2/6)
P(X≦4)=(4/6)^4
だから
P(X≧5)+P(X≦4)
=(2/6)+(4/6)*(2/6)+(4/6)^2*(2/6)+(4/6)^3*(2/6)+(4/6)^4
=(2/6)+(4/6)*(2/6)+(4/6)^2*(2/6)+(4/6)^3
=(2/6)+(4/6)*(2/6)+(4/6)^2
=(2/6)+(4/6)
=1

∴
P(X≧5)+P(X≦4)=1

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/11/15 17:52

P(X≧5)を余事象を使わずに求めると

サイコロの目が４以下をQ、5以上をRで表せば
QQQR=128通り、QQRQ=128, QRQQ=128, RQQQ=128
QQRR=64, QRQR=64, QRRQ=64,
RQQR=64, RQRQ=64, RRQQ=64
QRRR=32, RQRR=32, RRQR=32, RRRQ=32
RRRR=16
計1040通り
1040/6^4=65/81

>4回のうち1回でも5か6の目が出れば残りの
>3回振って出る目はなんでも良いから、
>(3/6)×(6/6)×(6/6)×(6/6)=3/6と考えました。

2/6と言いたいのだろうけど
最後の式になるところがさっぱり解らんです。

これだと百万回振っても2/6のままだよね。
そんなバカな。

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/11/15 11:08

P(X≧5) は 2/6 なのか (3/6)×(6/6)×(6/6)×(6/6)=3/6 なのか. いずれにしても違うけど.

(3/6)×(6/6)×(6/6)×(6/6)=3/6 が (2/6)×(6/6)×(6/6)×(6/6)=2/6 の間違いだとしても
・4回振るうちどの 1回でも 5以上の目が出ればいい
・(単純に 4倍するだけだと) 5以上の目が 2回以上出る場合を重複して数えてしまう
という問題があるので正しくない.

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/11/15 11:06

駄目ではないけどP(X≧5)が間違ってます。

P(X≧5)は4回振って全て4以下の余事象だから
1 - (4/6)^4 = 65/81

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2022/11/15 10:04

No.2 です。

#2 には「補足・その２」に書かれていることを説明しましたが、同様に
　P(X≦3)
も X の値それぞれについて求めなければいけません。

P(X≦3) ≠ (3/6)^4
ですから。

　P(X=3) = 4C1 * (1/6) * (3/6)^3
　← 「1/6」は『３』の目が出る確率、「3/6」は『１～３』の目が出る確率

　P(X=2) = 4C1 * (1/6) * (2/6)^3
　← 「1/6」は『２』の目が出る確率、「2/6」は『１～２』の目が出る確率

　P(X=1) = 4C1 * (1/6) * (1/6)^3
　← 「1/6」は『１』の目が出る確率

それぞれ「(3/6)^4」ではないよね。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2022/11/15 09:58

＞「P(X=4)=1-{P(X≧5)+P(X≦3)」

という考え方は合っています。

ここで
　P(X≧5) = P(X=5) + P(X=6)
であり、
「X=6」は「最大の目が『６』で、他の３回は『１～６』のいずれでもよい」
ということになりますが、
「X=5」は「最大の目が『５』で、他の３回は『１～５』のいずれでもよい」
ということであって、『６』の目が出ることは含まれません。

従って
　P(X=6) = 4C1 * (1/6) * (6/6)^3
　← 「1/6」は『６』の目が出る確率、「6/6」は『１～６』の目が出る確率
ですが
　P(X=5) = 4C1 * (1/6) * (5/6)^3
　← 「1/6」は『５』の目が出る確率、「5/6」は『１～５』の目が出る確率
です。

P(X≧5) を一発で求めようとしていますが、上のように P(X=6) と P(X=5) を分けて考えなければいけません。

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/11/15 04:15

1つのサイコロを4回ふって,出た目のうち最大のものをXとすると

P(X≦3)
=(4回ふって,出た目のうち最大のものが3以下である確率)
=
(1回目が3以下かつ2回目が3以下かつ3回目が3以下かつ4回目が3以下である確率)
=
(1回目が3以下である確率)*(2回目が3以下である確率)*(3回目が3以下である確率)*(4回目が3以下である確率)
=
(3/6)*(3/6)*(3/6)*(3/6)
=
(3/6)^4
だから
P(X≦3)=3/6は間違い

P(X≧5)
=1-P(X≦4)
=1-(4/6)*(4/6)*(4/6)*(4/6)

だから
P(X≧5)=2/6は間違い