AB=2,BC=3,∠ABC=60°の三角形がある。 点Aから辺BCに垂線を下ろし辺BCとの交点をD

AB=2,BC=3,∠ABC=60°の三角形がある。
点Aから辺BCに垂線を下ろし辺BCとの交点をDとする。
⊿ADCの外接円と辺ABの交点のうちAと異なる点をEとする。また線分ADと線分CEの交点をFとする。⊿DFEの外接円の半径を求めよ。という問題で、私は頑張ってDF,FE,EDの長さを求めてやったら、EFDの角度が120°になりました。つまり∠ABC=60°なので四角形EBDFは⊿DFEの外接円に内接するということですよね。解く最初の段階で内接することがわかれば、∠EFDが120°、余弦定理でEDを求めて正弦定理で半径をササッと出せるのですが、内接することがわかるにはどこかの対角を足して180°にならないとダメですよね。今回は∠ABC=60°しかわかっておらず対角の和が180°とはパッと見分からないのでズラズラ計算して、∠EFD=120°を出すしかないのでしょうか。

質問者からの補足コメント

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    補足日時：2023/02/02 15:56

No.4 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/02/02 17:18

はいそれでよいと思います

円周角の定理から
∠AEC=∠ADC=90°

∠BEF
=180°-∠AEC
=180°-90°
=90°
=∠BDF=

∠BEF+∠BDF=90°+90°=180°
だから
四角形EBDFは△DFEの外接円に内接する

この回答へのお礼

わかりました！ありがとうございます！

お礼日時：2023/02/02 17:22

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/02/02 16:52

円周角の定理から

∠DCE=∠DAE
∠BCE=∠DCE=∠DAE=∠BAD

∠BCE
=∠BAD
=180°-∠ADB-∠ABC
=180°-90°-60°
=30°

∠BEF
=∠BEC
=180°-∠BCE-∠ABC
=180°-30°-60°
=90°
=∠BDF

∠BEF+∠BDF=90°+90°=180°
だから
四角形EBDFは△DFEの外接円に内接する

この回答へのお礼

やっててきづいたのですが、∠ADC=90°なのでACは直径で∠AECも直角になると考えてもよいでしょうか。

お礼日時：2023/02/02 17:01

No.2 回答者： ケムケム地層 回答日時： 2023/02/02 16:46

すみません、△ABDと△CBEは2角が等しいから相似、の方が速いですね。

60°と角BAD=角BCE

この回答へのお礼

わかりました！ありがとうございます！

お礼日時：2023/02/02 17:23

No.1 回答者： ケムケム地層 回答日時： 2023/02/02 16:38

△ABDと△CBEが2辺の比とその間の角60°が等しいので相似になります。

すると角BEFが90°より、角EFDが120°です。