-π<x≦π、f(x)=|sinx|+1 である周期関数f(x)のフーリエ級数について、 an=4/

-π<x≦π、f(x)=|sinx|+1 である周期関数f(x)のフーリエ級数について、

an=4/(π(1-n^2)) (n=2m, m=0,1,2…)
0(n=2m+1, m=1,2,…)
となったのですが合ってますでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/02/10 15:10

-π<x≦π、f(x)=|sinx|+1 である周期関数f(x)のフーリエ級数が

f(x)=a(0)/2+Σ_{n=1～∞}{a(n)cos(nx)+b(n)sin(nx)}
a(n)=(1/π)∫_{-π～π}f(x)cos(nx)dx (n=0,1,2,…)
b(n)=(1/π)∫_{-π～π}f(x)sin(nx)dx (n=1,2,…)
ならば

a(0)
=(1/π)∫_{-π～π}f(x)dx
=(1/π)∫_{-π～π}(|sinx|+1)dx
=(1/π)∫_{-π～π}dx+(1/π)∫_{-π～π}|sinx|dx
=2+(1/π)∫_{-π～0}(-sinx)dx+(1/π)∫_{0～π}sinxdx
=2+(1/π)∫_{π～0}(sint)(-dt)+(1/π)∫_{0～π}sinxdx
=2+(1/π)∫_{0～π}sintdt+(1/π)∫_{0～π}sinxdx
=2+(1/π)∫_{0～π}sinxdx+(1/π)∫_{0～π}sinxdx
=2+(2/π)∫_{0～π}sinxdx
=2+(2/π)[-cosx]_{0～π}
=2+(4/π)

n≧1のとき

a(n)
=(1/π)∫_{-π～π}(|sinx|+1)cos(nx)dx
=(1/π)∫_{-π～π}cos(nx)dx+(1/π)∫_{-π～π}|sinx|cos(nx)dx
=(1/π)[sin(nx)/n]_{-π～π}+(1/π)∫_{-π～π}|sinx|cos(nx)dx
=(1/π)∫_{-π～π}|sinx|cos(nx)dx
=(1/π)∫_{-π～0}|sinx|cos(nx)dx+(1/π)∫_{0～π}|sinx|cos(nx)dx
=(1/π)∫_{-π～0}(-sinx)cos(nx)dx+(1/π)∫_{0～π}(sinx)cos(nx)dx
=(1/π)∫_{π～0}(sint)cos(nt)(-dt)+(1/π)∫_{0～π}(sinx)cos(nx)dx
=(1/π)∫_{0～π}(sint)cos(nt)dt+(1/π)∫_{0～π}(sinx)cos(nx)dx
=(1/π)∫_{0～π}(sinx)cos(nx)dx+(1/π)∫_{0～π}(sinx)cos(nx)dx
=(1/π)∫_{0～π}2(sinx)cos(nx)dx
=(1/π)∫_{0～π}(sin{(n+1)x}-sin{(n-1)x})dx

n=1のとき
a(1)
=(1/π)∫_{0～π}sin(2x)dx
=(1/π)[-cos(2x)/2]_{0～π}
=0

n≧2のとき

a(n)
=(1/π)∫_{0～π}(sin{(n+1)x}-sin{(n-1)x})dx
=(1/π)[-cos{(n+1)x}/(n+1)+cos{(n-1)x}/(n-1)]_{0～π}
=(1/π)[(1-cos{(n+1)π})/(n+1)+(cos{(n-1)π}-1)/(n-1)]
=(1/π)[(1+(-1)^n)/(n+1)+{(-1)^(n-1)-1}/(n-1)]

n=2m≧2のとき
a(n)
=(1/π){2/(n+1)-2/(n-1)}
=4/{π(1-n^2)}

n=2m+1のとき
a(n)=0

b(n)
=(1/π)∫_{-π～π}f(x)sin(nx)dx
=(1/π)∫_{-π～π}(1+|sinx|)sin(nx)dx
=0

∴
f(x)=1+(2/π)+Σ_{m=1～∞}(4/{π(1-4m^2)})cos(2mx)