塾の宿題でわからないため教えて欲しいです。

集合の問題です。合計80人の習い事を調査した所　英会話が35人　書道が15人　ピアノが20人だった。英会話とピアノを両方習っている人が8人　書道だけが7人だったとき3種類全て習っている人は何人かという問題です。
集合が苦手なので解説をいただければ幸いです。

No.6 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/03/08 16:45

大学になったら、ダメだけど、今はベン図を使うとわかり易い。

この条件を図に書くと、80人には程遠い。
54人にしかならない。

下の図を見て、自分で良～く考える様に・・・・。

No.5 回答者： 河内のおやじ 回答日時： 2023/03/08 16:21

英会話をA、書道をB、ピアノをCとしました。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/03/08 16:17

問題の引用にミスがあります。

英会話が35人、ピアノが20人、英会話とピアノを両方習っている人が8人だったら、
英会話かピアノかどちらかは習ってる人は 35 + 20 - 8 = 47人。
あと、書道だけを習ってる人が7人だったら、全体の人数は 47 + 7 = 54人。
合計が80人でなく、数が合いません。
どこか何か書き間違えていますね。

No.3 回答者： 河内のおやじ 回答日時： 2023/03/08 16:16

A∩C = 8 （英会話とピアノを両方習っている人が8人）

B\A\C = 7 （書道だけが7人で、英会話もピアノも習っていない人の数）
A = 35
B = 15
C = 20
これらの情報を使って、3種類全て習っている人の数を求めていきます。

まず、A∪B∪Cの要素数を求めます。

A∪B∪C = (A∩B∩C) ∪ (A∩B\C) ∪ (A\C∩B) ∪ (A\C\B) ∪ (B\C\A) ∪ (B\C) ∪ (C\A\B) ∪ (C\B\A) ∪ (A\B\C)

ここで、A∩B∩Cは求めるべき要素（3種類全て習っている人）の数には直接関係しないため、無視して計算します。

A∪B∪C = (A∩B\C) ∪ (A\C∩B) ∪ (A\C\B) ∪ (B\C\A) ∪ (B\C) ∪ (C\A\B) ∪ (C\B\A) ∪ (A\B\C)

これらの集合の要素数は以下のようになります。

A∩B\C：英会話と書道を習っているが、ピアノを習っていない人の数
= (A∩B) - (A∩B∩C)
= 0（英会話と書道を両方習っている人はいない）
A\C∩B：英会話とピアノを習っているが、書道を習っていない人の数
= (A\C) - (A∩C)
= 27（英会話を習っているが、ピアノを習っていない人の数）
A\C\B：英会話だけを習っている人の数
= A - (A∩B) - (A∩C) + (A∩B∩C)
= 0（英会話だけを習っている人はいない）
B\C\A：書道だけを習っている人の数
= B - (A∩B) - (B∩C) + (A∩B∩C)
= 4（書道だけを習っている人の数）
B\C：書道とピアノを習っているが、英会話を習っていない人の数
= (B\C) - (A∩B\C) - (B∩C) + (A∩B∩C)
= 3
C\A\B：ピアノだけを習っている人の数
= C - (A∩C) - (B∩C) + (A∩B∩C)
= 12（ピアノだけを習っている人の数）
C\B\A：ピアノと書道を習っているが、英会話を習っていない人の数
= (C\B) - (A∩B\C) - (B∩C) + (A∩B∩C)
= 5
これらを合わせて、A∪B∪Cの要素数は、0+27+0+4+3+12+5 = 51 となります。

よって、3種類全て習っている人の数は、全体の要素数80から、A∪B∪Cの要素数を引いたもので求められます。

全体の要素数 - A∪B∪Cの要素数 = 80 - 51 = 29

したがって、3種類全て習っている人は29人いることになります。

No.2 回答者： 河内のおやじ 回答日時： 2023/03/08 16:14

まずは、集合の図を描いて状況を整理しましょう。

No.1 回答者： kairou 回答日時： 2023/03/08 15:43

条件不足で 答えが出せません。

集合ではなく 単なる引き算では。

書道だけが 7人 ですから 15-7=8 で 8人は 何かと一緒の筈。
英会話とピアノを両方習っている人が8人ですから、
この8人が 全て 書道を習っていれば つじつまが合う。
つまり 3種類すべての人は 最大8人。

書道で 8人は 何かと一緒に習っている。
その8人が 全員 英会話又はピアノだとしても 問題に 矛盾は起きない。
つまり 3種類すべての人は 最小0人。

従って つまり 3種類すべての人は 0人以上8人以下。