| 1 -2 -2c+1| |2| A=| 2 -1 -c+2 | b=|2| | 1 -c+2 2

| 1 -2 -2c+1| |2|
A=| 2 -1 -c+2 | b=|2|
| 1 -c+2 2c | |1|
| 3 0 0 |

(1)行列Aの階数を求めよ。
(2)c=1とする。このとき、Ax=Abを満たす3次元ベクトルx
のうち、ノルムが最小のものを求めよ。

cは実数です。
階数は3になったのですが、
(2)はノルムというものからよく分かりません。

ご教授お願いします。

質問者からの補足コメント

• √9=3でした。

    補足日時：2023/05/13 21:05

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/05/13 18:41

A =

　　1　　-2　　-2c+1
　　2　　-1　　-c+2
　　1　　-c+2　2c
　　3　　0　　　0,
b =
　　2
　　2
　　1.
ですかね？

(1)
小行列式
　　1　　-2　　-2c+1
　　2　　-1　　-c+2
　　3　　0　　　0
の値が = 3{ (-2)(-c+2) - (-1)(-2c+1) } = -9 ≠ 0
なので、 A の階数は 3 です。

(2)
ベクトルの「ノルム」とは、長さのことです。
今回の問題では、 (A の列数) = (A の階数) なので
Ax = Ab となる x は一意に決まり、
ノルム最小とかは考慮する必要がありません。
変な問題ですね？

x = (2,2,１） です。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
x = (2,2,１）の場合、ノルムは、√(3)=3であっているでしょうか。
また、x=C1(-1,1,0,0)+C2(1,0,-2,1) (C1,C2は任意)のような場合は、ノルムはどのよう計算するのでしょうか。

お礼日時：2023/05/13 21:04

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/05/13 21:51

＞ x = (2,2,１）の場合、ノルムは、√(3)=3であっているでしょうか。

ベクトル (2,2,1) の「長さ」が √(2² + 2² + 1²) = √9 = 3 であることは、
中学校の教科書にも書いてありますよ？
√3 = 3 のはずがないでしょう。

x = C₁(-1,1,0,0)+C₂(1,0,-2,1)　(C₁,C₂は任意)
　= (-C₁+C₂, C₁, -2C₂, C₂)
の長さが
｜x｜ = √{ (-C₁+C₂)² + (C₁)² + (-2C₂)² + (C₂)² }
であることも、中学範囲です。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2023/05/13 22:10

No.1 回答者： ミラ-_- 回答日時： 2023/05/13 18:24

ノルムは、ベクトルの大きさや長さを表す数値です。

ベクトル空間において、ベクトルの長さや距離を計算するために使用されます。

一般的に、ノルムは以下のように定義されます。

ベクトル v = (v1, v2, ..., vn) のノルム（ベクトルの大きさ）は、 ||v|| や ‖v‖ と表記されます。ノルムの具体的な計算方法はノルムの種類によって異なりますが、一般的なノルムの種類としては以下のようなものがあります。

ユークリッドノルム（2ノルム）: ベクトルの各成分の二乗和の平方根で表されます。2次元平面上でのユークリッド距離と一致します。
||v|| = √(v1^2 + v2^2 + ... + vn^2)

1ノルム（マンハッタンノルム）: ベクトルの各成分の絶対値の和で表されます。ベクトルの各要素間の直線距離の総和と一致します。
||v|| = |v1| + |v2| + ... + |vn|

無限大ノルム（∞ノルム）: ベクトルの成分の絶対値のうち、最大の値を表します。
||v|| = max(|v1|, |v2|, ..., |vn|)

ノルムが最小という場合、ノルムの値が最小になるベクトルを指します。具体的には、与えられた方程式 Ax = b を満たすベクトル x のうち、ノルムが最小になるような解を求めることになります。