直行補空間について… x=(1,-1,0,1) y=(2,0,1,1) z=(1,1,1,0) 全て

直行補空間について…

x=(1,-1,0,1)
y=(2,0,1,1)
z=(1,1,1,0) 全て転置行列

の線形結合でできるベクトルの集合の直行補空間の基底を求めたい。次の2つのベクトルが規定となるよう定めよ。

p=(1,0,p3,p4)
q=(0,1,q3,q4)

という問題なのですが、自分でやってみたところ

z=y-x 次元は2で基底はx,y
x,y両方に直交する(a,b,c,d)を求める。
p,qと照らし合わせると

p3=-3
q3=0
p4=q4=1

となりましたがしっくりきません。-3という値がひっかかります。これで合っているのでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/03/28 17:57

x=(1,-1,0,1)

y=(2,0,1,1)
z=(1,1,1,0) 全て転置行列
p=(1,0,p3,p4)
q=(0,1,q3,q4)
p,ｑとx，y，zは直交するので、そのすべての内積を作って、=０とすると
px=1+p4=0＿＿＿＿(1)
py=2+p3+p4=0＿＿(2)
pz=1+p3=0＿＿＿＿(3)
qx=－1+q4=0＿＿_(4)
qy=q3+q4=0＿＿＿(5)
qz=1+q3=0＿＿＿_(6)
これらを解くと(7)が得られる。
p3=－1，p4=－1，q3=－1，q4=1＿＿(7)
よって
p=(1,0,－1, －1)
q=(0,1,－1, 1)

次の訂正でしょうか。
直行補空間→直交補空間、規定となる→基底となる、z=y-x 次元は2で基底はx,y→？？

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/04/01 02:37

これだと

y・q≠0なんで直交補空間にならないですね。