数学の質問です。 △ABCにおいて, ∠Aの二等分線が BC と交わる点をRとする。 辺BC, CA

数学の質問です。

△ABCにおいて, ∠Aの二等分線が BC と交わる点をRとする。 辺BC, CA, AB の長さをそれぞれa,b,c とおく。

(1) 線分 BR と線分 RC を, それぞれ a, b, c を用いて表せ。

BR=ca/b+c RC＝ab/b+c

(2) 線分AR の長さra,b,c を用いて表せ。

(写真が回答)


という問題に関しての質問です。

二等分線より、BAR＝CAR＝θとおきます。
それぞれの三角形cosθで余弦定理で式を作って、cosθ=n、cosθ=mの形にして、n=mの形にしました。この方法で解けないのはなぜですか？

No.2 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/07/14 06:08

∠BAR=∠CAR=θ

|BR|^2=|AB|^2+|AR|^2-2|AB||AR|cosθ
2|AB||AR|cosθ=|AB|^2+|AR|^2-|BR|^2
cosθ=(|AB|^2+|AR|^2-|BR|^2)/(2|AB||AR|)

|RC|^2=|AC|^2+|AR|^2-2|AC||AR|cosθ
2|AC||AR|cosθ=|AC|^2+|AR|^2-|RC|^2
cosθ=(|AC|^2+|AR|^2-|RC|^2)/(2|AC||AR|)

(|AB|^2+|AR|^2-|BR|^2)/(2|AB||AR|)=(|AC|^2+|AR|^2-|RC|^2)/(2|AC||AR|)

|AB|=c
|BR|=ca/(b+c)
|AC|=b
|RC|=ab/(b+c)
|AR|=r

だから

(c^2+r^2-{ca/(b+c)}^2)/(2cr)=(b^2+r^2-{ab/(b+c)}^2)/(2br)
↓両辺に2bcr(b+c)^2をかけると
b(b+c)^2(c^2+r^2-{ca/(b+c)}^2)=c(b+c)^2(b^2+r^2-{ab/(b+c)}^2)
bc^2(b+c)^2+b(b+c)^2r^2-b(ca)^2=cb^2(b+c)^2+c(b+c)^2r^2-c(ab)^2
↓両辺にb(ca)^2-bc^2(b+c)^2-c(b+c)^2r^2を加えると
(b-c)(b+c)^2r^2=(b-c)bc{(b+c)^2-a^2}
↓b≠cのとき両辺を(b-c)で割ると
(b+c)^2r^2=bc{(b+c)^2-a^2}
↓両辺を(b+c)^2で割ると
r^2=bc{(b+c)^2-a^2}/(b+c)^2
∴
r=(√[bc{(b+c)^2-a^2}])/(b+c)

b=cのとき解けない

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！

お礼日時：2023/07/16 19:06

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/07/14 01:52

具体的にどうやってどこで何に困っているのかさっぱりわからないけど, 3個の未知数に対して 3本の等式が立つから＊がんばれば＊解けるかもしれないね.

とはいえ, ふつうに角の二等分線の性質を使った方がはるかに簡単なので, そんな方法で解くというのはそもそも頭に出てこないかもしれん.