高一数学二次関数 画像あり 〔HiPrime 58ページ 227番〕 （2）です。 私の考えた解き方

高一数学二次関数 画像あり

〔HiPrime 58ページ 227番〕

（2）です。

私の考えた解き方
この関数をグラフとして考えると、グラフは下に凸であり、浮くか、1点だけx軸と交わるか、の2通り
つまり D≦0 になる。
D≦0を計算すると、k＝1になるから、答えは全ての実数

解説は、まず因数分解して、kの値で場合分けしていました。
なぜまず因数分解するのでしょうか？
解説の考え方が分からないです。
教えて下さると助かります(* .ˬ.)‪ෆ‪.*･ﾟ

No.9 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/09/11 18:00

D=(3k+1)^2 - 4(2k^2+2k)

= 9k^2 + 6k + 1 - 8k^2 - 8k = k^2 - 2k + 1
= (k-1)^2 ≧ 0

なので k = 1 なら グラフは x 軸と一点で接するし、
k≠1 ならグラフは x 軸と2点で交わる。

左辺 = (x + 2k)(x+k+1)
なのでグラフは x = -2k と x = -k-１でx軸と交わるか接する。

k < 1 なら -k-1 < -2k
k > 1なら -k-1 > -2k

だから答えは

k < 1 なら x ≦ -k-1 又は -2k ≦ x
k = 1 なら x は全ての実数
k > 1 なら x ≦-2k　又は -k-1≦ x

No.8 回答者： AっKI 回答日時： 2023/09/09 19:40

この問題は

『2次不等式を解け』
です。あなたが答えようとしているのは
『2次不等式が常に成り立つようなkの値の範囲を求めよ』
という問題です。その解答であればあなたの解答で正解です。

文字定数のない2次不等式はどう解いたのでしょう？
それと同じことをすればいいだけの話です。
まずは因数分解を考えたのではないですか？
ここで、なぜ因数分解するのか、きちんと理解しているでしょうか？
その部分の理解も抜けているような気がします。
教科書で確認してみてください。

No.7 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/09/09 14:59

＞ この関数をグラフとして考えると、

＞ グラフは下に凸であり、浮くか、1点だけx軸と交わるか、の2通り

そんなわけあるかいな。
D = (3k + 1)^2 - 4(2k^2 + 2k)
　= (9k^2 + 6k + 1) - (8k^2 + 8k)
　= k^2 - 2k + 1
　= (k - 1)^2
だから、
k=1 のときはグラフは1点だけx軸と交わり、
k≠1 のときはグラフは2点でx軸と交わる。

グラフは2点 x=a, x=b でx軸と交わる場合は、
a < b か b < a かで (2) の答えの書き方は変わってくるから
具体的な a, b を求める必要があり、
因数分解するなり解公式を使うなりして具体的な解を k の式で書いて
どっちが大きいかを考えなければならない。

No.6 回答者： ヤフーを捨てた男 回答日時： 2023/09/08 22:44

判別式というか解の公式ですがね

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/09/08 20:51

ax^2+bx+c=a[{x+b/(2a)}^2-(b^2-4ac)/(4a^2)]

b^2-4ac≧0ならば

ax^2+bx+c=a[x+{b+√(b^2-4ac)}/(2a)][x+{b-√(b^2-4ac)}/(2a)]

と因数分解できる

b^2-4ac<0ならば
すべての実数xに対して

(ax^2+bx+c)/a={x+b/(2a)}^2-(b^2-4ac)/(4a^2)>0

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/09/08 16:11

グラフは

浮くか、1点だけx軸と交わるか、だけではなく
2点でx軸と交わる場合もあります
2点α≦βでx軸と交わる場合,因数分解すると
(x-α)(x-β)≧0
となって
x≦α　または　β≦x
となるのです
だから因数分解するのです

x^2+(3k+1)x+2k^2+2k≧0
x^2+(3k+1)x+2k(k+1)≧0
(x+2k)(x+k+1)≧0

k<1のとき
-k-1<-2k だから
x≦-k-1 または　-2k≦x

k=1のとき
-2k=-2=-k-1
x≦-2 または -2≦xだから
xはすべての実数

1<kのとき
-2k<-k-1 だから
x≦-2k または　-k-1≦x

この回答へのお礼

①因数分解して場合分け
②因数分解ができないなら判別式を使う

ということでしょうか？(>_<。)
教えて下さると助かります(* .ˬ.)‪ෆ‪.*･ﾟ

お礼日時：2023/09/08 16:40

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2023/09/08 15:17

x²+(3k+1)x+2k²+2k

=x²+(3k+1)x+2k(k+1)
=(x+3k)(x+k+1) とした方が、
判別式を計算するより 計算が楽ですよね。
AB>0 なら A, B は共に正か 共に負 ですよね。
「計算が楽」と云う事は「ミスが少ない」と云う事です。

「D≦0を計算すると、k＝1になる」→ これは間違い。
不等式の答えが 等式になる訳がない。
更に k の範囲を求める問題でもない。

この回答へのお礼

①因数分解して場合分け
②因数分解ができないなら判別式を使う

ということでしょうか？
教えて下さると助かります(* .ˬ.)‪ෆ‪.*･ﾟ

お礼日時：2023/09/09 11:38

No.2 回答者： ヤフーを捨てた男 回答日時： 2023/09/08 13:19

そもそもなぜ浮くか1点だけ？2点で交わる可能性は？

そうでなくてもそもそも方針がズレてます。2次方程式だって解くとき因数分解できるならするでしょう？「解く」のであればまず因数分解できないか疑うのは2次不等式でも同じです

この回答へのお礼

①因数分解
②できないなら判別式

ということでしょうか？

お礼日時：2023/09/08 16:38

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/09/08 13:13

解法の手順を見れば明らか。