対数関するの連続性とは

「0<a<bである定数a,bがある。Xn＝(a^n/b+b^n/a)^1/nとおくとき、lim(n→∞)Xnを求めよ。」という問題において

解答の最後の方に
「lim(ｎ→∞)logXn=logb
対数関数の連続性より
lim(ｎ→∞)Ｘｎ＝ｂ
と記載があります。
感覚的には分かりますが、連続性があるとlogがとれる理由を教えてください。

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/09/14 20:06

lim Ｘｎ = lim e^log Xn = e^lim log Xn = e^log b = b.

と捉えてもいいし、
lim Ｘｎ = a の log をとって log a = log lim Xn = lim log Xn = log b.
よって a = b としてもいい。
関数の連続性と逆関数の連続性は表裏一体だからね。

いずれにせよ、根拠は
lim[x→c] f(x) = a, lim[y→a] g(y) = b が両方収束するとき
lim[x→c] g(f(x)) = b が収束するって定理。
質問にある「連続性」は、この lim[y→a] g(y) = b のことを言っている。
その証明は、解析学の教科書に εδ で説明されているが、
結論だけは高校の教科書にも書いてある。

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/09/14 17:29

a=logb

とする
指数関数の連続性より
任意のε>0に対して
あるδ>0が存在して
|x-a|<δとなる任意のxに対して
|e^x-e^a|<ε…(1)

lim_{n→∞}logXn=logb
だから
δ>0に対して
ある自然数n_0が存在して
n>n_0となる任意の自然数nに対して
|logXn-logb|<δ
だから(1)から
|e^{logXn}-e^{logb}|<ε
だから
|Xn-b|<ε
だから指数関数の連続性より
lim(n→∞)Xn=b

対数関数ではなく指数関数の連続性です