半径1の球に内接する底面が正方形の四角錐の体積(V)の最大値を教えてください。 (先程も同様の投稿を

半径1の球に内接する底面が正方形の四角錐の体積(V)の最大値を教えてください。


(先程も同様の投稿をしましたが、誤字が多かったので修正し再投稿させていただきました。)

No.3 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2023/10/05 17:28

球の中心から底面までの距離をhとすると、四角錐の高さは(1 + h)、正方形である底面の対角線の長さは2√(1-h²)なので、底面積は2(1-h²)、従って四角錐の体積は

　　V(h) = (2/3)(1 + h)(1 - h²)
V(h)が最大になるとき、
　　dV/dh = 0
だから
　　(d/dh)(1 + h)(1 - h²)
　　= 1 - 2h - 3h² = 0
これを解いて
　　h = (1/3)(-1 ± 2)
よって
　　h = 1/3
と決まり、あとは代入するだけ。

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/10/05 23:15

＞ 四角"錐"ですね。

ああ、そこも誤字のうちだったのか。
前回投稿では、四角柱だったよね。

No.4 を、丸写ししようとせずにその趣旨を読めば、
(a/2)^2 + (h - 1)^2 = 1^2　…①
V = (a/√2)(a/√2)h　…②
で、ほぼ同様に処理できることが判るはず。
多少は、自分の頭も使おうや。

この回答へのお礼

そうですね。前回に引き続きご回答していただき、ありがとうございます。
＞自分の頭も使おうや。
そうですね。言葉たらずだったと思います…
「四角柱じゃなくて四角錐です…！
　ですが、趣旨は理解できました！！」などとお伝えすべきでした。ありものがたり さんも質問を読んでから回答し、お互いに敬意を持ってご回答していただけると嬉しいです。

お礼日時：2023/10/05 23:27

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/10/05 22:56

微分は要らんかな。

数I 範囲の問題だから。
底面の対角線の長さを a、四角柱の高さを h とする。
球の中心と底面の対角線のひとつを含む割面で
四角柱の断面を考えると、
三平方の定理から a^2 + h^2 = 2^2 となる。　…①
底面の正方形の一辺は a/√2 だから、
四角柱の体積は V = (a/√2)(a/√2)h.　…②
制約条件 ① の下に ② の V の最大値を求める問題。

計算の方法は、いくらでもある。
No.3 は、① を使って a を消去し、V を h の一変数関数として、
微分計算によって最大値を求めている。
似て非なるものに、① から a = 2cosθ, ｈ = 2sinθ と置いて
V を θ の一変数関数として微分計算で処理する方法もある。
V を a,h の二変数関数としたままで、ラグランジュの未定乗数法
を使うという手もある。

それより簡単だと思えるのは、相加相乗平均の関係を使う方法。
①を (1/2)a^2 + (1/2)a^2 + h^2 = 4,
②を V^2 = (1/4)(a^4)(h^2) と考えると、
(1/2)a^2, (1/2)a^2, h^2 の 3項目についての相加相乗平均の関係から
{ (1/4)(a^4)(h^2) }^(1/3) ≦ { (1/2)a^2 + (1/2)a^2 + h^2 }/3.
よって、 V^(2/3) ≦ 4/3 (等号成立は (1/2)a^2 = (1/2)a^2 = h^2) のとき。
V ≦ (4/3)^(3/2) が答えだと判る。
(1/2)a^2 = h^2 ⇔ a/√2 = h は四角柱が立方体の場合だから、
この答えは直感ともよく符合する。

この回答へのお礼

四角"錐"ですね。

お礼日時：2023/10/05 23:04

No.2 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2023/10/05 16:52

錐　ですね、失礼

V＝x²ｈ/3　（0＜ｘ≦1）
で
ｈ＝１＋√｛1-(x/2)²｝
になるので、代入して微分して＝0にしてｘを求めれば体積も求められます。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/10/05 16:52

V=(28/45)(1+√14)/√15