参考書に、統計力学の考え方によって、全ての分子が同じ分子である場合と、2種類の分子が混ざった場合で、

参考書に、統計力学の考え方によって、全ての分子が同じ分子である場合と、2種類の分子が混ざった場合で、理想溶液のエントロピー変化がどのように変化するかについて説明がありました。同じ分子の場合のエントロピーの式(ボルツマンの関係式)はS=kB•loge [N micro]です。2種類の分子の場合はS=kB•loge {[N micro]•N!/N₁!N₂!}です。したがって2種類の分子が混合することによるエントロピーの増加は、画像のようになります。その計算過程について、
「N•kB•loge N -N•kB-N₁•kB•loge N₁+N₁•kB-N₂•kB•loge N₂+N₂•kB=N₁•kB•loge N+N₂•kB•loge N-N₁•kB•loge N₁-N₂•kB•loge N₂」
どのように計算すればこのようになるのかが分かりません。=の後のN₁•kB•loge N+N₂•kB•loge Nはどのようにしてできたのですか。

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/10/15 12:27

スターリングの公式

　logN!≒NlogN-N
を使う。
https://manabitimes.jp/math/763

logN!/(N₁!N₂!)=logN!-logN₁!-logN₂!
　　　≒NlogN-N-(N₁logN₁-N₁)-(N₂logN₂-N₂)
　　　　=(N₁+N₂)logN-N-N₁logN₁-N₂logN₂+(N₁+N₂)
　　　　=(N₁+N₂)logN-N₁logN₁-N₂logN₂-N+(N₁+N₂)
　　　　=(N₁+N₂)logN-N₁logN₁-N₂logN₂+0
　　　　=N₁logN+N₂logN-N₁logN₁-N₂logN₂

No.1 回答者： 河内のおやじ 回答日時： 2023/10/15 11:48

ここでの主な考え方は、2種類の分子が混ざった場合のエントロピー変化を計算するために、それぞれの分子のエントロピーの和から、各成分が分離された場合のエントロピーの和を引くということです。

この計算過程は、統計力学に基づいており、混合前後の各成分の状態数の対数を用いて計算を行っています。2種類の分子が混ざった場合、それぞれの成分の状態数を考慮し、混合後のエントロピーと混合前のエントロピーを比較しています。

最初の項は、全体の分子数Nに対する全体のエントロピーを表しています。その後、各成分の分子数とその状態数に基づいて、エントロピーの増減を計算しています。この過程を通じて、2種類の分子が混ざった場合のエントロピーの増加を正確に算出しているのです。