高校数学 この問題で、両辺を二乗した式においてD＞0の条件が使えないのにD=0の条件は使える理由を教

高校数学 この問題で、両辺を二乗した式においてD＞0の条件が使えないのにD=0の条件は使える理由を教えてください。
無理方程式の解の個数

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/11/05 22:04

両辺を2乗した式においてのD>0の条件が使えないのではありません

両辺を2乗した式16(x-1)=(x+2k)^2でのD>0の条件は
4√(x-1)=x+2k
が異なる2つの実数解をもつための
十分条件ではないけれども
必要条件として使えます

16(x-1)=(x+2k)^2でのDについて

D<0のとき
k>3/2
16(x-1)=(x+2k)^2 は実数解を持たないから
4√(x-1)=x+2k　も実数解を持たない

D=0のとき
k=3/2
16(x-1)=(x+2k)^2 は重解x=-2k+8を持ちx+2k=8>0だから
4√(x-1)=x+2k　も重解x=-2k+8を持つ

D>0のとき
k<3/2
16(x-1)=(x+2k)^2 は異なる2つの実数解
α=-2k+8-4√(3-2k)
β=-2k+8+4√(3-2k)
をもつ
β+2k=8+4√(3-2k)>0
となる

D>0
-1/2≦k<3/2のとき
α+2k=8-4√(3-2k)≧0
だから
4√(x-1)=x+2k　も異なる2つの実数解
α=-2k+8-4√(3-2k)
β=-2k+8+4√(3-2k)
をもつ

D>0
k<-1/2のとき
α+2k=8-4√(3-2k)<0
だから
4√(x-1)=x+2k　はただ1つの実数解
β=-2k+8+4√(3-2k)
をもつ
-----------------------------
2√(x-1)=(1/2)x+k
が異なる2つの実数解をもつ
↓↑
4√(x-1)=x+2k
が異なる2つの実数解をもつ
↓↑
x+2k≧0
16(x-1)=(x+2k)^2
が異なる2つの実数解をもつ
↓↑
x+2k≧0
x^2+4(k-4)x+4k^2+16=0
が異なる2つの実数解をもつ
↓↑
x+2k≧0
16(3-2k)={x+2(k-4)}^2
が異なる2つの実数解をもつ
↓↑
k<3/2
x=-2k+8±4√(3-2k)
0≦x+2k=8±4√(3-2k)
0≦8±4√(3-2k)
0≦2±√(3-2k)
0≦2-√(3-2k)
√(3-2k)≦2
3-2k≦4
-1≦2k
-1/2≦k
∴-1/2≦k<3/2

No.6 回答者： kairou 回答日時： 2023/11/04 14:29

２次方程式で 実数解の有無を調べるときには、

D>0 は 使える筈です。
但し それで 出てきた k の範囲が、
題意に適するか否かの確認は しなければなりません。

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/11/03 21:16

方程式

2√(x-1)=(1/2)x+k
が異なる2つの実数解をもつためには

放物線の上半分
y=2√(x-1)…①
と
直線
y=(1/2)x+k…②
と
の交点が2つあればよい
だから

両辺を二乗した式
放物線全体
y^2=4(x-1)…①'
と
直線
y=(1/2)x+k…②
と
の交点が2つあって
その2交点のy座標が非負であればよい
だから

両辺を二乗した式において
k<3/2
D>0
であれば
放物線全体①'
と直線②
との交点が2つあり

x≧1だから
k≧-1/2であれば
交点のy座標は
y=(1/2)x+k≧0
となるから

-1/2≦k<3/2

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/11/03 16:24

D>0の条件は使えます

2√(x-1)=(1/2)x+k
が異なる2つの実数解をもつように,実数kの値の範囲を求めよ

y=2√(x-1)…①
y=(1/2)x+k…②
とする
0≦x-1だから1≦x
0≦2√(x-1)=(1/2)x+kだから0≦(1/2)x+kだから0≦x+2k

方程式から
4√(x-1)=x+2k
両辺を2乗すると
16(x-1)=(x+2k)^2
整理すると
x^2+4(k-4)x+4k^2+16=0
{x+2(k-4)}^2+32k-48=0
{x+2(k-4)}^2=48-32k=D(判別式)
0<{x+2(k-4)}^2だから
0<48-32k
0<3-2k
2k<3
k<3/2

直線②が①のグラフの端点(1,0)を通るとき
0=(1/2)+k ∴　k=-1/2
従って
求めるkの値の範囲は　-1/2≦k<3/2

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/11/03 15:02

見えない

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/11/02 21:23

「D＞0の条件が使えない」「D=0の条件は使える」って, どういう意味で (あるいはどのように) 「使えない」「使える」といってい

る?

No.1 回答者： reishi._. 回答日時： 2023/11/02 21:19

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