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4行目でシグマの計算が1・(3n-1乗-1/3-1)になるのはどうしてですか

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A 回答 (1件)

S = Σ[k=1...n-1] 3^(k-1) と置いて、両辺を 3 倍すると


3S = 3Σ[k=1...n-1] 3^(k-1) = Σ[k=1...n-1] 3^k = Σ[k=2...n] 3^(k-1) です。
この式と冒頭の式を引き算すると、
左辺 = 3S - S = (3 - 1)S,
右辺 = Σ[k=2...n] 3^(k-1) - Σ[k=1...n-1] 3^(k-1)
  = { Σ[k=2...n-1] 3^(k-1) + 3^n } - { 3^0 + Σ[k=2...n-1] 3^(k-1) }
  = 3^n - 3^0
になりますから、 S = (3^n - 1)/(3 - 1) です。
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