次の数列の初項から第n項までの和Snを求めよ。 1²,1²+2²,1²+2²+3²,1²+2²+3²

次の数列の初項から第n項までの和Snを求めよ。

1²,1²+2²,1²+2²+3²,1²+2²+3²+4²,…

計算の仕方がよくわかりません…教えて下さい(* . .)’’

No.5 回答者： sc348253 回答日時： 2023/12/14 14:07

No3のように　二項定理　からでも計算可能ですね！

No.4 ベストアンサー 回答者： sc348253 回答日時： 2023/12/14 13:59

an=1^2+2^2+3^2+4^4+.....+n^2=Σ k;1→n k^2=n(n+1)(2n+1)/6

よって
６・Sn=Σ k;1→n k(k+1)(2k+1)
=Σ k;1→n k(k+1)(k+2+k-1)
=Σ k;1→n k(k+1)(k+2) +Σ k;1→n (k-1)k(k+1)
ここで定和分をとれば
=⌠k;1→n (k+2)【3】⊿k+⌠k;1→n (k+1)【3】⊿k
　=[(k+2)【4】/4]n+1→1　+　[(k+1)【4】/4]n+1→1
　=[(k+2)(k+1)k(k-1) /4]n+1→1 +[(k+1)k(k-1)(k-2) /4]n+1→1
=(n+3)(n+2)(n+1)n/4 +(n+2)(n+1)n(n-1)/4 ............(1)
=(n+2)(n+1)n(n+3+n-1)/4
=(n+2)(n+1)n(2n+2)/4
=2(n+2)(n+1)^2 ・n/4
∴Sn=(n+1)^2 ・n(n+2)/12
と　N01 と同じ！

高校生ならば
Σ k;1→n k(k+1)(k+2) は
{k(k+1)(k+2)(k+3) - (k-1)k(k+1)(k+2)} /4 から
k=1からnまで順に数字をいれると第n項だけ残るから
また
Σ k;1→n (k-1)k(k+1)　は
{(k-1)k(k+1)(k+2) - (k-2)(k-1)k(k+1)} /4 から
同様に第n項だけになるので
Sn=(n+3)(n+2)(n+1)n/4 +(n-1)n(n+1)(n+2)/4
以下　(1)と同じになりNo1と同じ！

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/12/13 08:48

問題の数列は、第 k 項が Σ[j=1..k] j^2 = (1/6)k(k+1)(2k+1) ですね。

Sn = Σ[k=1..n] (1/6)k(k+1)(2k+1)
　= (1/3)Σ[k=1..n] k^3 + (1/2)Σ[k=1..n] k^2 + (1/6)Σ[k=1..n] k　←[＊1]
です。
あとは Σ を計算するだけですが、Σ[k=1..n] k, Σ[k=1..n] k^2 ならともかく
Σ[k=1..n] k^3 の公式なんて普通覚えてないし、万一覚えていたとしても
[＊1] の式を展開整理するときに計算ミスをしそうです。

で、もう少し扱い易い公式を考えてみましょう。
(k+1)Pm - kPm = (k+1)k(k-1)…(k-m+2) - k(k-1)(k-2)…(k-m+1)
　　　　　　　= { (k+1) - (k-m+1) }k(k-1)…(k-m+2)　　　　　←[＊２]
　　　　　　　= m k(k-1)…(k-m+2)
　　　　　　　= m kP(m-1)
という式が成り立ちます。 P は、順列組み合わせの P です。
この式は、[＊2] の括りだしが印象的なので、覚えやすいですね。
この式を k = 1,2,3,...,n で Σ すれば、
Σ[k=1..n] kP(m-1) = (1/m) (n+1)Pm が得られます。

ｋP(m-1) は k の m-1 次多項式ですから、これを使って
k の多項式の Σ が計算できます。
(1/6)k(k+1)(2k+1) = A k(k-1)(k-2) + B k(k-1) + C k + D が
恒等式になるように定数 A,B,C,D を選びます。
適当に k = 0,1,2,-1 でも代入して連立一次方程式を解けば、
D = 0, C = 1, B = 3/2, A = 1/3 だと判ります。
(1/6)k(k+1)(2k+1) = (1/3)k(k-1)(k-2) + (3/2)k(k-1) + k + 0
の両辺を、上記の公式を使って k = 1,2,3,...,n で Σすれば、
Sn = Σ[k=1..n] (1/6)k(k+1)(2k+1)
　= (1/3)(1/4)(n+1)n(n-1)(n-2) + (3/2)(1/3)(n+1)n(n-1) + (1/2)(n+1)n.
展開整理するのも比較的やりやすい式形になっていると思います。

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2023/12/12 21:04

シグマの公式

Σ(K＝1〜m)K²＝(1/6)m(m+1)(2m+1)

利用で

問題の数列の第m番目の項は

1²+2²+3²+4²+…+m²

＝Σ(K＝1〜m)K²

＝(1/6)m(m+1)(2m+1)…①

ですから、求めるべきは

①にm＝1を代入した1²

m＝2を代入した1²+2²

m＝3を代入した1²+2²+3²

…

m＝nを代入した1²+2²+3²+4²,…、+n²

これらの総和です

総和なのでΣであらわせば

求めるべき答え

＝Σ(m＝1〜n)(1/6)m(m+1)(2m+1)

あとは、展開してシグマ公式を用いて計算です

No.1 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2023/12/12 19:00

Sn=(k=1 to n)Σ(n+1-k)k²=(n+1)Σk²-Σk³

あとは公式で