高一 数学 四角形ABCDは円に内接するものとする。 AB=4, BC=9, CD=9, cos∠A

高一 数学

四角形ABCDは円に内接するものとする。
AB=4, BC=9, CD=9, cos∠ABC=1/9 のときDAの長さおよび四角形ABCDの面積を求めよ。

この問題の解き方を教えてくださいm(*_ _)m
よろしくお願いします(；；)

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2023/12/03 21:45

> この問題の解き方

問題の四角形は、円の中心Oを頂点とする4つの二等辺三角形でできている。円の半径をR, 二等辺三角形それぞれの頂角を2α, 2β, 2γ,2δとすれば、与えられた条件を三角関数を含む式で表すのは簡単でしょう。あとはゴリゴリやるだけです。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/12/03 21:15

四角形ABCDは円に内接するものとする。

|AB|=4
|BC|=9
|CD|=9
cos∠ABC=1/9
のとき

|△ABC|
余弦定理から

|AC|^2
=|AB|^2+|BC|^2-2|AB||BC|cos∠ABC
=4^2+9^2-2|4||9|/9
=16+81-8
=89

|△ACD|
余弦定理から

|AC|^2=|DA|^2+|CD|^2-2|DA||CD|cos∠ADC
|AC|^2=|DA|^2+|CD|^2-2|DA||CD|cos(180°-∠ABC)
|AC|^2=|DA|^2+|CD|^2+2|DA||CD|cos(∠ABC)
89=|DA|^2+9^2+2|DA||9|/9
89=|DA|^2+81+2|DA|
|DA|^2+2|DA|-8=0
(|DA|+4)(|DA|-2)=0

|DA|=2

(sin∠ABC)^2=1-(cos∠ABC)^2=1-1/81=80/81

sin∠ABC=4√5/9
sin∠ADC=sin(180°-∠ABC)=sin∠ABC

|△ABC|=(1/2)|AB||AC|sin∠ABC=(1/2)(4)(9)4√5/9=8√5
|△ACD|=(1/2)|DA||CD|sin∠ABC=(1/2)(2)(9)4√5/9=4√5

|□ABCD|=|△ABC|+|△ACD|=12√5

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/12/03 17:49

このくらいなら, 出ている数値から計算できるものを計算していけばなんとかなる.