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No.3ベストアンサー
- 回答日時:
一変数関数の極値を調べるとき、
g’(x) = 0 となる点で g’’(x) = 0 になってしまったらどうしていましたか?
g’’’(x) とか g’’’’(x) とか、次々と高次の微分係数を見ていったはずです。
二変数関数でも同じです。
今回の f(x,y) の (x,y) = (0,0) におけるヘッセ行列は、
4 0
0 0
です。 行列式は 0 で、
二次形式 (∂²/∂x²)(dx)² + (∂²/∂x∂y)(dx)(dy) + (∂²/∂y²)(dy)² は
dx = 0 のとき 0 になってしまいます。
このときテーラー展開の高次項がどうなるかを調べてみましょう。
(x,y) = (0,0), dx = 0 のとき、f(x+dx,y+dy) = f(0+0,0+dy) = (dy)^5.
(dy)^5 は、dy = 0 の近傍で正負が一定しませんね。
よって (x,y) = (0,0) は f(x,y) の極値点ではない。
No.1
- 回答日時:
f(x,y)=4x^2-2xy^2+y^5
自然数nに対して
f(0,1/n)=1/n^5>0=f(0,0)
f(0,-1/n)=-1/n^5<0=f(0,0)
f(0,-1/n)<f(0,0)<f(0,1/n)
だから
f(0,0)は極値ではない
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