f(x,y)=4x^2-2xy^2+y^5の極値を求めたいのですが停留点（0,0）の時ヘッセ行列を用

f(x,y)=4x^2-2xy^2+y^5の極値を求めたいのですが停留点（0,0）の時ヘッセ行列を用いると0になってしまって極値かどうか判断出来ません。どのように調べたらいいか解説をお願いしたいです。よろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/12/17 10:25

一変数関数の極値を調べるとき、

g’(x) = 0 となる点で g’’(x) = 0 になってしまったらどうしていましたか？
g’’’(x) とか g’’’’(x) とか、次々と高次の微分係数を見ていったはずです。
二変数関数でも同じです。
今回の f(x,y) の (x,y) = (0,0) におけるヘッセ行列は、
　4　0
　0　0
です。 行列式は 0 で、
二次形式 (∂²/∂x²)(dx)² + (∂²/∂x∂y)(dx)(dy) + (∂²/∂y²)(dy)² は
dx = 0 のとき 0 になってしまいます。
このときテーラー展開の高次項がどうなるかを調べてみましょう。
(x,y) = (0,0), dx = 0 のとき、f(x+dx,y+dy) = f(0+0,0+dy) = (dy)^5.
(dy)^5 は、dy = 0 の近傍で正負が一定しませんね。
よって (x,y) = (0,0) は f(x,y) の極値点ではない。

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/12/17 08:02

f(0,y)=y^5

y<0 → f(0,y)<0, y>0 → f(0,y)>0

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/12/17 05:53

f(x,y)=4x^2-2xy^2+y^5

自然数nに対して

f(0,1/n)=1/n^5>0=f(0,0)
f(0,-1/n)=-1/n^5<0=f(0,0)

f(0,-1/n)<f(0,0)<f(0,1/n)
だから
f(0,0)は極値ではない