群数列

黒線のところの解説お願いします

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/01/10 11:04

1から順に並べた自然数を,

1|2,3|4,5,6,7|8,9,10,11,12,13,14,15|16,…
のように,第n群(n=1,2,…)が2^(n-1)個の数を含むように分ける
(1)
第(n-1)群の最後の数は,はじめから数えて

初項1,公比2,の等比級数(n-1)項の和だから

(1+2+…+2^{n-2}) = 2^(n-1)-1

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/01/11 12:22

いわゆる群数列ってのは、

もとの数列の第 n 項が第 m 群の k 番目の項であるとき
n = Σ[j=1..m-1](第 j 群の項数) + k であることを利用して、
一般項を n で表すことと m,k で表すことの間を行ったり来たり
する問題のこと。

この問題では、第 j 群の項数が 2^(j-1) 個なので、
Σ[j=1..m-1](第 j 群の項数) = Σ[j=1..m-1] 2^(j-1)
　　　　　　　　　　　　= (2^0){ 1 - 2^(m-1) }/{ 1 - 2 }
　　　　　　　　　　　　= 2^(m-1) - 1
になる というのが、黒線部のやってること。
計算に使ったのは、等比数列の和の公式だよ。

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/01/10 12:16

マスターコトー訂正

最後は
2ⁿ⁻¹-1に訂正します

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/01/10 12:14

等比数列の和の公式

等比数列の和
＝(初項)×(公比の項数乗-1)/(公比-1)
に
1+2+…+2ⁿ⁻²をあてはめる

2⁰〜2ⁿ⁻²までの項数は
(1〜2ⁿ⁻²までの項数は)
(n-2)+1＝n-1項で
初項＝1
公比＝2
だから

1+2+…+2ⁿ⁻²
＝等比数列の和
＝1×(2ⁿ⁻¹-1)/(2-1)
＝2ⁿ⁻¹
という計算ですよ