2022年 東京理科大 難易度判定

以下問題一部抜粋

1から12までの番号が1つずつ書かれた同じ大きさの12個の球が入った袋がある．
この袋の中から球を1つ取り出し，球に書かれた番号を調べて球を元に戻す試行をTとする．いま，数直線上の原点に点Pがある．1回Tを行い，取り出した球の番号が素数のときは，点Pを正の方向に2だけ移動させ，それ以外のときは，Pを正の方向に1だけ移動させる．n回目(n=1,2,3,…)のTが終わったときの点Pの座標をx[n]とし，x[1],x[2],x[3],…の中にnが含まれる確率をp[n]とする．
またx[0]=0,p[0]=1とする．

(ここまで)

このときのp[n]とp[n+1]の関係式を求めるものですが，自身としては標準的な問題とは思います．

しかし「nとn+1を同時に踏まないことはない」には気づいたものの「nを踏まないなら必ずn+1を踏む」に発想が至らず複数パターンを考えかえってややこしくなり受付期間内での回答に至りませんでした．(赤本の解説を精査してようやく気付いた)

そこで意見募集になりますが，この関係式はすんなり出るものですか？(気づく人はすぐ気づくのかもですが)

質問者からの補足コメント

• 問題はすでに解けているので難易度判定をお願いしたく．
  感想としては
  1-p[n]がすべてp[n+1]の要素になること(これに気づかず難儀した)
  p[n]がnまでの配列のみを考えておりそれ以降は考える必要がないということ(これも気付かず，気づいていれば7/12をかけるだけの単純なものであった)
  
  の2点を突破するのが容易ではなくそこさえ突破すればp[n]までは一直線なので全体としては標準かなと自身は判断しました

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/04/21 21:01

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/04/23 18:18

＞ 問題はすでに解けているので難易度判定をお願いしたく．

No.2 のように場合分けすれば、立式はとても容易でしょう。
あとは線型漸化式の処理ですが、これは受験生には必須事項です。
特に突破すべき壁はなく、易問だと思います。

この回答へのお礼

もちろん場合分けはすぐに出たのですが果たして受験生がすんなり条件を深く読めるかどうかというところしょうか．式さえ出してしまえばただの教科書レベルなのでやすやすと立式できるならそれは易問と感じても当然でしょう．

これにて締めたいと思います．

お礼日時：2024/04/25 13:16

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/04/24 10:12

nとn+1を同時に踏まないことはない

のだから

n+1を踏まないときは
必ず
nを踏むのだから

n+1を踏まないときは

nを踏んで
n+1を踏まない
場合だけなのだから

n+1を踏まない確率は

nを踏む確率p(n)×(素数が出てn+1を踏まない確率)(5/12）
=
(5/12)p(n)

で

n+1を踏む確率はその補事象の確率だから

p[n+1]=1-(5/12)p[n]

になる

「nを踏まないなら必ずn+1を踏む」に発想が至らなくても
回答できるから

難易度は

易

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/04/23 14:30

n,n+1 を踏むか踏まないかを場合分けすると、

[0] ｎ も n+1 も踏まない
[1] n は踏むが n+1 は踏まない
[2] ｎ は踏まないが n+1 は踏む
[3] ｎ も n+1 も踏む
の 4通りです。それぞれの確率を考えましょう。

T で袋からどの球を取り出したとしても
P の位置は +1 か +2 しかしないわけですから、
n-1 以下の位置から n, n+1 を踏まずに
n+2 以上へ移動することはありえません。
[0] が起こる確率は 0 です。

条件文をよく読むと、
[1]+[3] が n を踏む確率 p(n),
[2]+[3] が n+1 を踏む確率 p(n+1)
であることが判ります。

あと、[3] が起こる確率は、
n を踏んだ次の T で +1 する確率なので
p(n)・(7/12) です。

以上を合わせると、
1 = [0] + [1] + [2] + [3]
　= 0 + ([1]+[3]) + ([2]+[3]) - [3]
　= p(n) + p(n+1) - p(n)・(7/12)
より
p(n+1) = 1 - p(n) + p(n)・(7/12)
　　　　= 1 - p(n)・(5/12)
になります。

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/04/21 20:30

1,4,6,8,9,10,12,素数でない確率7/12

2,3,5,7,11,素数の確率5/12

n+1を踏まない確率は
nを踏む確率×(5/12）で
n+1を踏む確率はその補事象の確率だから

p[n+1]=1-(5/12)p[n]