2024.4.22 09:12にした質問の2024.4.22 13:10に頂いた以下の解答について質

2024.4.22 09:12にした質問の2024.4.22 13:10に頂いた以下の解答について質問があります。

「まだやってるの？
tan のローラン展開だけでもう何回目？
既に 5回や 10回じゃないでしょう。
何回説明されても理解できない公式に拘ってないで、
ふつうに (z - π/2) tan(z - π/2) をテイラー展開したら？
あなたの好きな公式も、このやり方を
一般の n+2 位の極に当てはめたものにすぎないし。」

の文章の

「(z - π/2) tan(z - π/2) をテイラー展開したら？」

に関して、テイラー展開はローラン展開とは違いnが0と正の値の範囲でしか展開出来ないと思いますが、

g(z)=(z-π/2)tan(z-π/2) をテイラー展開したら、f(z)=tan(z)をローラン展開した場合の式と同じ式になるのでしょうか？

仮に同じ式ならば、
g(z)=(z-π/2)tan(z-π/2) をテイラー展開した式とf(z)=tan(z)をローラン展開した式が同じ式になる事をどうか説明して下さい。

どうかよろしくお願い致します。

質問者からの補足コメント

• ありがとうございます。
  ちなみに、画像の式はf(z)=tan(z)のマクローリン展開した式なのですが、正しいでしょうか？
  
  
  ちなみに、f(z)=tan(z)のマクローリン展開した式を導くにはどうやって導けば良いでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

  
    補足日時：2024/04/30 11:44

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/04/30 20:10

tan(z)のz=π/2のまわりでのローラン展開

tan(z)=a(-1)/(z-π/2)+a(0)+a(1)(z-π/2)+…

↓両辺に(z-π/2)をかけると

(z-π/2)tan(z)=a(-1)+a(0)(z-π/2)+a(1)(z-π/2)^2+…

↓両辺を(n+1)回微分すると

(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)=(n+1)!a(n)+(n+2)!a(n+1)(z-π/2)+…

↓z→π/2とすると

lim{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)=(n+1)!a(n)

↓両辺を(n+1)!で割ると

{1/(n+1)!}lim{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)=a(n)

↓左右を入れ替えると

∴
a(n)={1/(n+1)!}lim{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/04/30 11:06

(z - π/2) tan(z) をテイラー展開して

(z-π/2)で割るとtan(z)のローラン展開になるのです