数学II 直線y=2x+kが放物線y=3x-x^2と異なる2点P,Qで交わるとする。 (1)定数kの

数学II
直線y=2x+kが放物線y=3x-x^2と異なる2点P,Qで交わるとする。
(1)定数kの値の範囲を求めよ。また線分PQの中点Mの座標をkで表せ。
(2)kの値が変化するとき、線分PQの中点Mの軌跡を求めよ。

まじで全くわかりません。
答えは(1)k<1/4 (1/2, k+1) (2)x=1/2のy<5/4の部分
です。
わかる方お願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/05/23 12:08

(1)

直線と放物線が２点で交わるということは、
連立方程式
y=2x+k,
y=3x-x^2
の解 (x,y) が２点だということです。

y=2x+k により
解 (x,y) が2点であることと
解の x が2個であることは同値なので、
y を消去した
2x+k=3x-x^2 が２個の解を持つ条件
を求めてもよいことになる。

二次方程式の判別式をとって、
1^2 - 4・1・k > 0.
すなわち k < 1/4 が答えになります。

P,Q の x座標を p,q と置けば、
二次方程式の解と係数の関係から、
p+q=1, pq=k.

P(p,2p+k), Q(q,2q+k) なので、
中点 M の
x座標は (p+q)/2 = 1/2,
y座標は ((2p+k)+(2q+k))/2 = p+q+k = 1+k.

(2)
もう、(1)で答えは出ています。
M の軌跡は、
(x,y) = (1/2,1+k), k < 1/4.

パラメータ表示じゃなくて方程式で書けって話なのであれば、
x = 1/2, y < 5/4 になるかな。

No.3 回答者： sc348253 回答日時： 2024/05/23 14:14

3x-x^2=2x+k ∴　x^2 -x+k=0　　　...................(1)

∴　- x^2 +x = - (x-1/2)^2 +1/4 =k より
1) 直線y=2x+kが放物線y=3x-x^2と異なる2点P,Qで交わるための
定数kの範囲は　k<1/4　　.......................................(2)

(1)において
解と係数の関係から　P,Qのx座標をα, βとすれば
１=α＋β　　, k=αβ
線分PQの中点Mのx座標は　(α+β)/2=1/2
同じく そのy座標は
{(2α+k)+(2β+k)}/2=(α＋β)+k=k+1
または
α^2+β^2=(α+β)^2 -2αβ=1-2k　から
{(３α-α^2)+(３β-β^2)}/2={(３(α+β)-(α^2+β^2)}/2
=(3-(1-2k))/2=k+1

2) (2)より　k+1<1+1/4=5/4
線分PQの中点Mの座標は(1/2,k+1)なので
その軌跡は　x=1/2　　かつ
y=k+1なので値域は　５/４未満

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/05/23 06:00

(1)

交わるということは yが等してから
　2x+k=3x-x² → x=(1±√(1-4k))2
したがって、xが2つの知を持つにはルート内が正、1-4k>0 のとき
すなわち
　k<1/4

中点は、2点の平均だから
　x={(1+√(1-4k))2+(1-√(1-4k))2}/2=1/2
中陳はPQ上にあるから、上のxを入れるとyの座標が求まり
　y=2・1/2+k=1+k

(2)
(1/2,1+k)の軌跡だが、k<1/4 なので
x=1/2 の直線上で、y<1+1/4=5/4 の部分。