数学

１辺の長さが２の正四面体ＡＢＣＤがある。ＢＣの中点をＭとし、頂点からＭＤに下ろした垂線をＡＨとするとき、次の値を求めよ。
(3)AHの長さ
AH=AM×sinAMDで求め、(2√6)/3となるそうなんですがなぜこの式で求められるんですか？

No.4 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/06/05 10:49

AHは垂線だから

△AМHは∠AHМ＝90度の直角三角形
直角三角形において
sinθ＝対辺/斜線
だから
sin∠AМH(sin∠AМD)＝AH/AМ
AМを移項すると
AH＝AМ×sin∠AМD
となります

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/06/05 10:02

図を描いてみれば簡単にわかります。

AHは垂線だから∠AHMは直角
3角形 AMH は直角三角形です。したがって
AH=AM×sin∠AMH = AM×sin∠AMD
簡単ですよね？

多分 sinAMD は余弦定理で出せって問題なんだろうけど
AM=DM=√(3) AD=2 だから
余弦定理から
(√(3))^2 + (√(3))^2 - 2√(3)√(3)cosθ = 2^2 （θ = ∠AMD)
→ cosθ = 1/3
θは 三角形の内角で sinθは 負にならないから
sinθ=√(1-(cosθ)^2) = √(8/9)
AH = AM×sinθ = √(3) ×√(8/9) = 2√(6)/3

Hは三角形BCDの重心で、HはDMを2:1 で内分する
ことを知っていればもっと楽に解ける。
MH = DM/3 ＝√(3)/3 となるからピタゴラスの定理から
AH = √(AM^2 - MH^2)
=√((√(3))^2-(√(3)/3)^2 = √(3 - 1/3) = √(8/3)
= 2√(6)/3

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/06/05 09:57

図の通り

No.1 回答者： kigoshi 回答日時： 2024/06/05 09:23

SinAMDは　AH/AM　ですよね。

なので
AM×sinAMD＝AM×AH/AM＝AH
となります。

この回答へのお礼

早くて分かりやすかったのでこの方で。
みなさんありがとうございました。

お礼日時：2024/06/12 16:12