No.1
- 回答日時:
これは、ベルヌイの微分方程式を使います。
y'+P(x)y=Q(x)y^n・・・・・・(1)
という式で考えます。
y^(1-n)=u・・・・・(2)
とおく。
(2)を両辺微分してy'=(u'・y^n)/(1-n)・・・・・(3)
(3)を(1)に代入。
(u'・y^n)/(1-n)+P(x)y=Q(x)y^n・・・・・・(4)
(4)の両辺をy^nで割って、1-nをかけると、
u'+(1-n)P(x)u=(1-n)Q(x)・・・・・・(5)
これで線形になり解けるようになります。
問題では加速度は速度の微分よりa=v'とおいて
(5)式においてP(x)=0、Q(x)=-k/m、
n=2よりv^(-1)=uとおけば解けます。
詳しくは微分方程式関係の本の中にベルヌイの微分方程式の解法が載っていると思うので参考にしてください。
この回答への補足
おそれいりますが、式の形が違うのではないかと思います。
与式は
mv' = mg - kv^2
<-> v' = g - (k/m)v^2
で、定数項gが余計なんです。
ベルヌーイ方程式の解法を試してみますと、最後に-v^2で
両辺を割るところで、
gがあるためにv^2が復活してきてしまいます。
このあたりの処理方法をご教授下さい。
No.2
- 回答日時:
morisusu さんの書かれているように
ベルヌイの微分方程式を使えば解けます。
まず、
v = y + √(mg/k)
v' = y'
のようにシフトしましょう。
すると
mv' = mg - kv^2
⇒my' = -ky^2 -2k√(mg/k)y
のようになり、定数項が消えますね。
あとは、やってみて下さい。
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
変形分離法でも出来ると思います。
mv' = mg - kv^2
m(dv/dt) = mg - kv^2
{1/(mg - kv^2)}dv = (1/m)dt
∫{1/(mg - kv^2)}dv = ∫(1/m)dt
左辺は部分分数分解を使って、積分すると、
log[{(√mg) + v(√k)} / {(√mg) - v(√k)}] = t/m + C (Cは積分定数)
これをvについて解くと、
v = (√mg/k)[(-1 + Aexp{2(√kg/m)t) / (1 + Aexp{2(√kg/m)t})] (A = exp(C))
となります。あとは初速度などの条件を入れて、Aを求めればvが求まります。
ちょっと積分の計算は自信がありませんので、答えは自分で求めてみてください。
こんなんでよろしいでしょうか?あまり得意な方でないので自信がありませんが…。
No.4
- 回答日時:
真面目にやると、そうか、ベルヌーイの方程式に帰着されるんですね。
stomachmanの場合、ズルしてます。
f' =1- f^2
の解は
f(t)=tanh(t)
あとは係数と初期値の辻褄を合わせます。つまり
v(t) = A f(Bt)+C
として、もとの方程式および初期値に合うようにA,B,Cを決める。
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